[论文解读] Thurston's metric on Teichmüller space and the translation lengths of mapping classes

Athanase Papadopoulos, Weixu Su|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明了具有边界的曲面的Teichmüller空间上的弧度量在边界长度趋于零时收敛于Thurston的非对称度量。利用这一收敛性，作者证明了映射类在Thurston度量下的平移长度等于在简单闭曲线上的对数拉伸因子的下确界，从而将边界曲面上弧度量的结果推广到了无边界的case。

ABSTRACT

We show that the Teichmüller space of a surface without boundary and with punctures, equipped with Thurston's metric is the limit (in an appropriate sense) of Teichmüller spaces of surfaces with boundary, equipped with their arc metrics, when the boundary lengths tend to zero. We use this to obtain a result on the translation distances for mapping classes for their actions on Teichmüller spaces equipped with their arc metrics.

研究动机与目标

• 研究当边界长度趋于零时，具有边界的曲面在Teichmüller空间上的弧度量的极限行为。
• 建立从具有边界的曲面上的弧度量到相应具 punctures 的曲面上Thurston度量的几何收敛。
• 应用此收敛性，推导映射类在Teichmüller空间上配备Thurston度量时的平移长度结果。
• 证明映射类在Thurston度量下的平移距离由所有本质简单闭曲线上的对数拉伸因子的下确界决定。

提出的方法

• 作者使用Fenchel-Nielsen坐标分析当边界测地线收缩为尖点时双曲结构的收敛性。
• 他们构造了一族从具 punctures 的曲面 $ X_0 $ 到边界坍缩曲面 $ X_L $ 的同胚映射 $ f_L: X_0 \to X_L $，并证明在远离尖点邻域的紧子集上，度量一致收敛。
• 他们应用双曲三角恒等式，特别是关于在两个边界分量长度较小时的双对裤中弧长的公式。
• 他们推导出弧长 $ \ell_\alpha(X_L) $ 的渐近展开式，以第三条边界长度 $ \ell_\gamma $ 表示，显示当 $ \ell_{\beta_i} \to 0 $ 时，有 $ \ell_\alpha(X_L) = \ell_\gamma + |\log(\sinh(\frac{1}{2}\ell_{\beta_1})\sinh(\frac{1}{2}\ell_{\beta_2}))| - \log 2 + o(1) $。
• 他们定义了一个映射 $ \Psi_L: \mathcal{T}_L(S) \to \mathcal{T}_0(S) $，并证明其为 $ (1, o(1)) $-准等距，从而将 $ \mathcal{T}_L(S) $ 上的弧度量与 $ \mathcal{T}_0(S) $ 上的Thurston度量联系起来。
• 他们使用不等式 $ \frac{A_1 + A_2}{B_1 + B_2} \leq \max\{\frac{A_1}{B_1}, \frac{A_2}{B_2}\} $ 比较测地线长度的比值，并界定弧度量的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界长度趋于零时，具有边界的曲面在Teichmüller空间上的弧度量是否收敛于Thurston的度量？
• RQ2 在边界分量收缩的双曲曲面上，本质曲线和弧的测地线长度如何变化？
• RQ3 映射类在Thurston度量下的平移长度是否可通过所有简单闭曲线上的对数拉伸因子的下确界来刻画？
• RQ4 当 $ L \to 0 $ 时，映射 $ \Psi_L: \mathcal{T}_L(S) \to \mathcal{T}_0(S) $ 是否在极限下为准等距？

主要发现

• 当 $ L \to 0 $ 时，具有固定边界长度 $ L $ 的双曲结构空间 $ \mathcal{T}_L(S) $ 上的弧度量收敛于 $ \mathcal{T}_0(S) $ 上的Thurston度量。
• 对于任意本质简单闭曲线 $ \gamma $，比值 $ \frac{\ell_\gamma(Y_L)}{\ell_\gamma(X_L)} $ 在远离尖点邻域的紧子集上一致收敛于 $ \frac{\ell_\gamma(Y_0)}{\ell_\gamma(X_0)} $，当 $ L \to 0 $ 时。
• 对于任意连接两个边界分量 $ \beta_1, \beta_2 $ 的本质弧 $ \alpha $，其长度满足 $ \ell_\alpha(X_L) = \ell_\gamma + |\log(\sinh(\frac{1}{2}\ell_{\beta_1})\sinh(\frac{1}{2}\ell_{\beta_2}))| - \log 2 + o(1) $，其中 $ \gamma $ 是相关双对裤的第三条边界。
• 映射 $ \Psi_L: \mathcal{T}_L(S) \to \mathcal{T}_0(S) $ 是一个 $ (1, o(1)) $-准等距，意味着它在 $ L \to 0 $ 时将距离保持在趋于1的因子内。
• 映射类 $ f $ 在Thurston度量下的平移长度 $ \sigma(f) $ 满足 $ \sigma(f) = \inf_{X \in \mathcal{T}(S)} d_{\mathrm{Th}}(X, f(X)) = \inf_{\gamma \in \mathcal{S}} \log \frac{\ell_\gamma(f(X))}{\ell_\gamma(X)} $，表明其由所有本质简单闭曲线上的最小对数拉伸因子决定。