[论文解读] Topological cyclic homology via the norm

Vigleik Angeltveit, Andrew J. Blumberg+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文通过在等变正交谱中使用Hill-Hopkins-Ravenel的乘法范数，构造了拓扑循环同调（TC）及其相关理论，绕过了Bökstedt的协调性机制。它通过范数在拓扑霍尔兹德同调（THH）上建立了循环结构，定义了关于环 $C_n$-谱和循环 $A$-代数的相对 TR 与 TC 理论，并提供了谱序列以及 TR 和 TC 上 Adams 操作的自然定义。

ABSTRACT

We describe a construction of the cyclotomic structure on topological Hochschild homology ($THH$) of a ring spectrum using the Hill-Hopkins-Ravenel multiplicative norm. Our analysis takes place entirely in the category of equivariant orthogonal spectra, avoiding use of the Bökstedt coherence machinery. We are able to define versions of topological cyclic homology ($TC$) and TR-theory relative to a cyclotomic commutative ring spectrum $A$. We describe spectral sequences computing this relative theory $_ATR$ in terms of $TR$ over the sphere spectrum and vice versa. Furthermore, our construction permits a straightforward definition of the Adams operations on $TR$ and $TC$.

研究动机与目标

• 通过乘法范数而非 Bökstedt 的协调性机制，提供 THH 上循环结构的新且内在的构造。
• 从环 $C_n$-谱或循环交换环谱 $A$ 上的代数出发，定义 TR 与 TC 理论的相对版本。
• 建立相对 $A$-TR 与球谱上绝对 TR 之间相互关联的谱序列。
• 利用范数结构，给出 TR 与 TC 上 Adams 操作的自然且可计算的定义。

提出的方法

• 在等变正交谱的范畴中，利用 Hill-Hopkins-Ravenel 的乘法范数，构造谱上的 $S^1$-范数。
• 通过实现所需的 $S^1$-等变同构 $t_n: ho_n^* L ilde{ ext{Fix}}^{C_p} X o X$，利用范数在 THH(R) 上定义循环结构。
• 将相对 THH 与 TR 定义为相对于基环 $C_n$-谱或循环 $A$-代数的相对 $S^1$-范数。
• 利用在 Macksy 函子和 Tambara 函子中的代数范数，对谱中范数的同伦理论行为进行建模。
• 利用范数与固定点函子，构造计算 $A$-TR 的谱序列，其表达式以球谱上的 TR 为基准。
• 通过范数结构定义 TR 与 TC 上的 Adams 操作，利用 $S^1$-等变与循环数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能完全通过乘法范数构造 THH 上的循环结构，而无需依赖 Bökstedt 的协调性机制？
• RQ2 如何从环 $C_n$-谱或循环交换环谱上的代数出发，定义相对 TR 与 TC 理论？
• RQ3 哪些谱序列将循环 $A$-代数上的相对 TR 理论与球谱上的绝对 TR 理论联系起来？
• RQ4 能否在等变稳定同伦理论的范数结构下，自然地定义 TR 与 TC 上的 Adams 操作？

主要发现

• THH(R) 上的循环结构通过等变正交谱中的乘法范数被构造出来，提供了一种新且内在的定义，避免了 Bökstedt 的协调性机制。
• 相对 TR 与 TC 理论被定义于环 $C_n$-谱与循环交换环谱上的代数之上，扩展了迹方法的应用范围。
• 构造了谱序列，用于以球谱上的 TR 表达 $A$-TR，反之亦然，从而为相对理论提供了计算上的可及性。
• TR 与 TC 上的 Adams 操作通过范数结构自然定义，为这些操作提供了一个系统且可计算的框架。
• Macksy 函子中的代数范数正确地建模了同伦理论中的范数，解决了如 $C_2$-等变 $\mathbb{Z}[x]$ 这类例子中朴素张量幂方法的失败。
• 证明了范数 $N_e^{C_2}(\mathbb{Z}[x])$ 的固定点为 $\mathbb{Z}[t,y,x\cdot gx]/(t^2-2t, ty-2y)$，其中单位 $1$ 生成 Burnside 环，而非 $\mathbb{Z}$，从而纠正了朴素模型的错误。