[论文解读] Hochschild and cyclic (co)homology of preprojective algebras of quivers of type T

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Oct 23, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文利用周期为6的周期性投影化解析，计算了特征为零的域上类型T的quiver的预投影代数的Hochschild与循环（上）同调。研究证明Hochschild上同调环由显式基生成，并计算了所有上积（up to periodicity），揭示了Batalin-Vilkovisky结构，并发现Nakayama自同态是恒等映射，与ADE情形不同。

ABSTRACT

We calculate the additive and multiplicative structure (together with the grading) of the Hochschild homology and cohomology and the cyclic homology of preprojective algebras of types T. We also compute the calculus structure which is formed by the Hochschild homology/cohomology pair.

研究动机与目标

• 计算类型T的quiver的预投影代数的Hochschild同调与上同调空间。
• 通过上积完全确定Hochschild上同调环的结构。
• 分析Hochschild（上）同调上的微分几何结构，包括Batalin-Vilkovisky算子。
• 阐明Nakayama自同态在T情形中的作用，证明其为恒等映射，与ADE情形不同。
• 更正先前文献中关于类型A预投影代数上积计算的错误。

提出的方法

• 构建预投影代数A的6周期性投影化解析，利用周期性实现Hochschild（上）同调的计算。
• 利用同构 $ HH^i(A) \cong \underline{\mathrm{Hom}}(\Omega^i A, A) $，将上同调类识别为双模映射。
• 应用Connes正合列及由A的Calabi-Yau Frobenius性质导出的对偶定理，计算同调与上同调。
• 利用化解析与分次交换性，计算所有上积 $ HH^i(A) \times HH^j(A) \to HH^{i+j}(A) $，其中 $ 0 \leq i \leq j \leq 5 $。
• 通过微分几何结构诱导的李导数 $ \mathcal{L} $ 推导Batalin-Vilkovisky结构。
• 通过Connes微分、Gerstenhaber括号与收缩映射的显式公式，验证微分几何时结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 预投影代数类型T的quiver的Hochschild上同调环 $ HH^*(A) $ 的结构是什么？
• RQ2 T情形下的Nakayama自同态与ADE情形有何不同？其影响为何？
• RQ3 预投影代数A的投影化解析的周期性与结构如何？
• RQ4 Hochschild上同调中的上积如何计算？其代数结构为何？
• RQ5 Hochschild上同调上的Batalin-Vilkovisky结构是什么？它如何由微分几何时结构导出？

主要发现

• Hochschild上同调环 $ HH^*(A) $ 在0至5度由显式基生成，所有上积均按周期性计算。
• A的投影化解析具有周期6，且其涉及的A-双模与ADE情形不同。
• A的Nakayama自同态为恒等映射，与ADE情形中的2阶自同态形成鲜明对比。
• 当 $ i,j \leq 5 $ 时，$ HH^*(A) $ 中的上积结构完全确定，其余上积由周期性与分次交换性推出。
• Batalin-Vilkovisky算子通过李导数 $ \mathcal{L} $ 计算，且 $ (HH^*(A), HH_*(A)) $ 上的微分几何时结构被显式描述。
• 对文献[ES2]中关于 $ HH^2(A) \cup HH^2(A) $ 上积的计算进行了更正，证明正确矩阵为具有特定边界条件的三对角矩阵的逆矩阵。