[论文解读] Topological obstructions for robustly transitive endomorphisms on surfaces

Cristina Lizana, Wagner Ranter|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文证明了在具有临界点的曲面上，鲁棒传递的端同态必为部分双曲，并且此类系统仅存在于环面或克莱因瓶上。通过使用支配分裂和遍历理论，作者证明了在第一同调群上的诱导作用至少有一个特征值的模大于1，从而揭示了在其他曲面上鲁棒传递性的拓扑障碍。

ABSTRACT

We address the problem of necessary conditions and topological obstructions for the existence of robustly transitive maps on surfaces. Concretely, we show that partial hyperbolicity is a necessary condition in order to have $C^1$ robustly transitive endomorphisms with critical points on surfaces, and the only surfaces that admits robustly transitive maps are either the torus or the klein bottle. Moreover, we show that every robustly transitive endomorphism is homotopic to a linear map having at least one eigenvalue with modulus larger than one.

研究动机与目标

• 确定曲面上具有临界点的鲁棒传递端同态存在的必要拓扑与动力学条件。
• 在鲁棒传递性通常需要类似双曲结构的前提下，确定哪些闭曲面可支持此类系统。
• 确立部分双曲性是具有临界点的端同态实现鲁棒传递性的必要条件，与局部微分同胚情形下无需弱双曲性形成对比。
• 刻画此类系统在第一同调群上的诱导作用，证明至少存在一个模大于1的特征值。

提出的方法

• 利用支配分裂和锥场分析端同态的动力学，特别关注不变子丛上导数的行为。
• 通过构造周期轨道平均的弱极限来建立不变测度，应用遍历理论研究李雅普诺夫指数。
• 应用伯克霍夫遍历定理与庞加莱复现定理，分析轨道上导数范数的长期行为。
• 使用弗兰克斯引理对周期点处的导数进行扰动，构造一个汇点以矛盾于传递性，从而证明部分双曲性。
• 利用支配分裂所导致的连续子丛，通过同调群作用推导出拓扑障碍。
• 通过在全轨道空间 $M_f$ 上的移位映射将问题约化为符号动力系统，从而应用测度论工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有临界点的曲面端同态要实现鲁棒传递，其动力学条件是什么？
• RQ2 哪些闭曲面可支持非局部微分同胚的鲁棒传递端同同态？
• RQ3 具有临界点的端同态的鲁棒传递性是否意味着某种弱双曲性，例如部分双曲性？
• RQ4 在第一同调群上的诱导作用如何限制此类系统的存在？
• RQ5 是否存在如基本群或同调这样的拓扑不变量，可阻碍曲面上鲁棒传递端同态的存在？

主要发现

• 具有临界点的曲面鲁棒传递端同态必为部分双曲，确立了部分双曲性为必要条件。
• 唯一可支持具有临界点的鲁棒传递端同态的曲面是环面 $\mathbb{T}^2$ 和克莱因瓶 $\mathbb{K}^2$，排除了所有其他闭曲面。
• 部分双曲端同态在第一同调群上的诱导作用至少有一个模大于1的特征值。
• 证明依赖于构造具有受控导数增长的周期点，并利用弗兰克斯引理进行扰动以生成一个汇点，从而与传递性矛盾。
• 鲁棒传递性蕴含存在支配分裂，进而导致不变测度的构造以及利用李雅普诺夫指数估计在非部分双曲情形下导出矛盾。
• 该结果将马拉的微分同胚定理推广至具有临界点的端同态，表明在奇点存在时，拓扑障碍更强。