[论文解读] Topological strings, quiver varieties and Rogers-Ramanujan identities

Shengmao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用 5

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{C}^3$ 上具有 Aganagic-Vafa brane 的拓扑弦理论中的 Ooguri-Vafa 不变量与 $\tau \leq 0$ 时 Nakajima quiver 变体的贝蒂数之间的对应关系。通过与 Rogers-Ramanujan 恒等式的联系，证明了这些不变量的整数性，特别是表明 $\tau=1$ 情况下产生与这些经典恒等式相关的无穷乘积公式。

ABSTRACT

Motivated by some recent works on BPS invariants of open strings/knot invariants, we guess there may be a general correspondence between the Ooguri-Vafa invariants of toric Calabi-Yau 3-folds and cohomologies of Nakajima quiver varieties. In this short note, we provide a toy model to explain this correspondence. More precisely, we study the topological open string model of $\mathbb{C}^3$ with one Aganagic-Vafa brane $\mathcal{D}_τ$, and we show that, when $τ\leq 0$, its Ooguri-Vafa invariants are given by the Betti numbers of certain quiver variety. Moreover, the existence of Ooguri-Vafa invariants implies an infinite product formula. In particular, we find that the $τ=1$ case of such infinite product formula is closely related to the celebrated Rogers-Ramanujan identities.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{C}^3$ 上具有 Aganagic-Vafa brane 的开拓扑弦理论中的 Ooguri-Vafa 不变量与 Nakajima quiver 变体的上同调不变量之间的对应关系。
• 通过将不变量与 quiver 变体的 Betti 数联系起来，证明 $\tau \leq 0$ 时 Ooguri-Vafa 不变量 $N_{m,k}(\tau)$ 的整数性。
• 探索划分函数的无穷乘积结构与 Rogers-Ramanujan 恒等式之间的联系，特别是在 $\tau=1$ 情况下。
• 为弦几何中关于 toric Calabi-Yau 3-流形与 quiver 变体之间更广泛猜想的对应关系提供一个玩具模型。
• 证明 $\tau=1$ 情况下的划分函数通过 plethystic 对数与 Möbius 反演可导出与 Rogers-Ramanujan 恒等式相关的公式。

提出的方法

• 使用参数化为 $\tau \in \mathbb{Z}$ 的 framing 的 $\mathbb{C}^3$ 上 Aganagic-Vafa brane $\mathcal{D}_\tau$ 的拓扑弦划分函数，定义开弦振幅的生成函数。
• 对划分函数应用 plethystic 对数，以提取 Ooguri-Vafa 不变量 $f_m^\tau(q)$，这些不变量被猜想为 $q^{1/2}$ 上的整系数洛朗多项式。
• 对于 $\tau \leq 0$，构造一个具有一个顶点和 $1-\tau$ 条无限腿的 quiver，并将相关 quiver 变体的 Betti 数与不变量 $N_{m,k}(\tau)$ 联系起来。
• 应用 Schur 函数的 Cauchy 恒等式及其在 $q^\rho$ 上的特殊化，计算 $\tau=0$ 情况下的划分函数，从而为对应关系提供基础情形。
• 应用数论技术，包括 Möbius 反演与 $p$-进赋值论证，通过二项式系数的可除性证明 $\tau>0$ 情况下的整数性。
• 使用引理 5.4 和引理 5.5，证明表达式 $\frac{1}{m^2}\sum_{d|m}\mu(m/d)(-1)^{d\tau}\binom{d(\tau+1)-1}{d-1}$ 对所有 $m \geq 1$，$\tau \in \mathbb{Z}$ 均为整数，从而完成 $\tau > 0$ 情况下的整数性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 toric Calabi-Yau 3-流形的 Ooguri-Vafa 不变量与 Nakajima quiver 变体上同调之间的普遍对应关系？
• RQ2 对于 $\tau \leq 0$，Ooguri-Vafa 不变量 $N_{m,k}(\tau)$ 是否可解释为某个 quiver 变体的 Betti 数？
• RQ3 $\tau=1$ 情况下的划分函数是否产生与 Rogers-Ramanujan 恒等式相关的无穷乘积公式？
• RQ4 表达式 $\frac{1}{m^2}\sum_{d|m}\mu(m/d)(-1)^{d\tau}\binom{d(\tau+1)-1}{d-1}$ 是否对所有 $\tau > 0$ 均为整数？
• RQ5 能否使用 $p$-进赋值与 Möbius 反演等数论方法证明 Ooguri-Vafa 不变量的整数性？

主要发现

• 对于 $\tau \leq 0$，Ooguri-Vafa 不变量 $N_{m,k}(\tau)$ 等于由一个顶点和 $1-\tau$ 条无限腿构成的 quiver 所定义的特定 Nakajima quiver 变体的 Betti 数。
• $\tau=0$ 情况下，$N_{1,0}(0) = 1$ 且对所有其他 $m,k$ 有 $N_{m,k}(0) = 0$，对应生成函数 $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} x^n$。
• $\tau=1$ 情况下从划分函数导出的无穷乘积公式，通过 plethystic 对数与 Rogers-Ramanujan 恒等式存在深刻联系。
• $\tau > 0$ 时 $f_m^\tau(q)$ 的整数性通过证明 $\frac{1}{m^2}\sum_{d|m}\mu(m/d)(-1)^{d\tau}\binom{d(\tau+1)-1}{d-1} \in \mathbb{Z}$ 得到证明，使用了 $p$-进赋值技术。
• 证明依赖于证明二项式系数差 $(-1)^{\tau n}\binom{( au+1)n-1}{n-1} - (-1)^{\tau n/p}\binom{( au+1)n/p-1}{n/p-1}$ 对于 $n = p^\alpha a$，$p \nmid a$ 可被 $p^{2\alpha}$ 整除，从而通过 Möbius 反演确保整数性。
• 该结果确认了所有 $\tau \in \mathbb{Z}$ 的猜想 1.1，确立了在 $(\mathbb{C}^3, \mathcal{D}_\tau)$ 上开拓扑弦理论中 Ooguri-Vafa 不变量的整数性。