[论文解读] Categorification of Donaldson-Thomas invariants via Perverse Sheaves

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 28

一句话总结

本文通过在卡拉比-丘3流形上稳定层模空间上的消失循环的奇异层，建立了唐纳森-托马斯不变量的范畴化。通过规范理论方法和陈-西蒙斯泛函，作者构造了一个全局定义的奇异层，由此定义的上同调理论通过 $sl_2 \times sl_2$ 作用产生戈帕库马尔-瓦法不变量，借助相对硬李特尔伍德定理，为GW不变量提供了数学框架。

ABSTRACT

We show that there is a perverse sheaf on a fine moduli space of stable sheaves on a smooth projective Calabi-Yau 3-fold, which is locally the perverse sheaf of vanishing cycles for a local Chern-Simons functional, possibly after taking an etale Galois cover. This perverse sheaf lifts to a mixed Hodge module and gives us a cohomology theory which enables us to define the Gopakumar-Vafa invariants mathematically.

研究动机与目标

• 在卡拉比-丘3流形上稳定层模空间上构造一个全局定义的奇异层，其局部同构于陈-西蒙斯泛函的消失循环层。
• 将此奇异层提升为混合霍奇模，以实现唐纳森-托马斯不变量的上同调解释。
• 利用所得上同调理论，通过奇异层上上同调的 $sl_2 \times sl_2$ 作用，几何地定义戈帕库马尔-瓦法不变量。
• 在K3纤维化的卡拉比-丘3流形情形下，验证戈帕库马尔-瓦法不变量与格罗莫夫-惠特尼不变量之间的猜想关系。

提出的方法

• 使用规范理论构造CS图册——半联络空间的有限维子流形——使得陈-西蒙斯泛函的临界集局部同构于模空间的开子集。
• 应用塞巴斯蒂安-托姆同构与同伦不变性，将局部的消失循环奇异层粘合为模空间上的全局奇异层。
• 通过局部图册上混合霍奇模的粘合，在全局奇异层上构造混合霍奇模结构。
• 对K3曲面的希尔伯特-肖映射应用相对硬李特尔伍德定理，诱导奇异层上同调上的 $sl_2 \times sl_2$ 作用。
• 利用傅里叶-穆凯伊变换与对称群不变量，计算椭圆K3曲面点的希尔伯特概形的上同调。
• 将上同调的庞加莱级数与已知的BPS不变量比较，验证戈帕库马尔-瓦法不变量与格罗莫夫-惠特尼理论中的BPS不变量一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在卡拉比-丘3流形上稳定层模空间上构造一个全局奇异层，使其局部同构于陈-西蒙斯泛函的消失循环层？
• RQ2 通过此奇异层得到的上同调理论是否能范畴化唐纳森-托马斯不变量，并几何地定义戈帕库马尔-瓦法不变量？
• RQ3 奇异层上同调上的 $sl_2 \times sl_2$ 作用是否足以通过已知生成函数恢复所有亏格的格罗莫夫-惠特尼不变量？
• RQ4 在K3纤维化的卡拉比-丘3流形情形下，通过此方法定义的戈帕库马尔-瓦法不变量是否与格罗莫夫-惠特尼理论中的BPS不变量一致？

主要发现

• 在卡拉比-丘3流形上稳定层模空间 $X$ 上构造了一个全局奇异层 $P$，其局部同构于陈-西蒙斯泛函的消失循环层。
• 上同调 $\mathbb{H}^i(X,P)$ 定义了一个DT（洛朗）多项式，其在 $t = -1$ 处的取值恢复了经典的唐纳森-托马斯不变量。
• 相对硬李特尔伍德定理在 $\mathbb{H}^*(X,\hat{P})$ 上诱导出 $sl_2 \times sl_2$ 作用，其中 $\hat{P}$ 是 $P$ 的加权过滤，从而实现戈帕库马尔-瓦法不变量的定义。
• 对于纤维化于 $\mathbb{P}^1$ 的椭圆K3曲面 $Y_0$，由奇异层上同调计算出的戈帕库马尔-瓦法不变量 $n_h(k)$ 与格罗莫夫-惠特尼理论中的BPS不变量 $r_h(k)$ 一致，验证了猜想7.4。
• 通过利用对称群不变量与分解定理，计算了K3曲面 $S$ 上点的希尔伯特概形 $S^{[k]}$ 的上同调的庞加莱级数，从而得到戈帕库马尔-瓦法不变量的生成函数。
• 该构造证实，通过 $X$ 上奇异层定义的戈帕库马尔-瓦法不变量，依据[12]中的已知关系，可给出所有亏格的格罗莫夫-惠特尼不变量 $N_g(\beta)$。