[论文解读] Topological terms and the global symplectic geometry of the phase space in string theory

R. Cartas-Fuentevilla|ArXiv.org|Apr 1, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文表明，尽管拓扑项（特别是弦世界膜的内曲率标量和外曲率标量）作为纯散度项，不影响经典动力学，但它们在弦理论相空间的全局辛几何中仍具有非平凡贡献。通过在变分原理中将辛势识别为纯散度项的被积函数，作者证明这些项可生成协变、规范不变的辛结构，揭示了拓扑项在正则形式中的隐藏几何角色。

ABSTRACT

Using an imbedding supported background tensor approach for the differential geometry of an imbedded surface in an arbitrary background, we show that the topological terms associated with the inner and outer curvature scalars of the string worldsheet, have a dramatic effect on the global symplectic geometry of the phase space of the theory. By identifying the global symplectic potential of each Lagrangian term in the string action as the argument of the corresponding pure divergence term in a variational principle, we show that those topological terms contribute explicitly to the symplectic potential of any action describing strings, without modifying the string dynamics and the phase space itself. The variation (the exterior derivative on the phase space) of the symplectic potential generates the integral kernel of a covariant and gauge invariant symplectic structure for the theory, changing thus the global symplectic geometry of the phase space. Similar results for non-Abelian gauge theories and General Relativity are briefly discussed

研究动机与目标

• 研究弦理论相空间中拓扑项的全局几何意义，特别是源自世界膜曲率标量的项。
• 解决一个看似矛盾的问题：纯散度项虽在动力学上无关紧要，却可能仍影响相空间的辛结构。
• 在弦理论的协变正则形式中，建立拓扑不变量与辛几何之间的联系。
• 将此分析扩展至非阿贝尔规范理论和广义相对论，表明在更广泛的场论中存在类似效应。

提出的方法

• 使用Carter的嵌入支撑背景张量方法，描述p-膜在高维时空中的微分几何。
• 将每个拉格朗日量项的辛势识别为变分原理中对应纯散度项的被积函数。
• 在协变相空间上应用外微分形式，从辛势的变分推导出辛结构。
• 证明辛势的外导数生成一个规范不变、协变的辛形式积分核。
• 分析弦世界膜的内曲率标量和外曲率标量作为拓扑项，并推导其各自的辛势。
• 将形式化方法扩展至杨-米尔斯理论和广义相对论，表明类似拓扑项对辛结构的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何拓扑项（作为纯散度项，因此在动力学上无关）仍能对弦理论相空间的辛几何产生贡献？
• RQ2 在协变相空间形式中，变分原理中纯散度项被积函数的精确几何角色是什么？
• RQ3 能否一致地识别出与拓扑项相关的辛势，并用其构建规范不变的辛结构？
• RQ4 世界膜的欧拉示性数等拓扑不变量在弦理论的正则形式中在多大程度上得以体现？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至其他场论，如非阿贝尔规范理论和广义相对论？

主要发现

• 弦世界膜的内曲率标量和外曲率标量等拓扑项虽不影响经典运动方程，却明确贡献于相空间的辛势。
• 辛势被识别为变分原理中纯散度项的被积函数，是协变相空间上的一个1-形式。
• 该辛势的外导数生成一个协变且规范不变的辛结构，从而改变相空间的全局辛几何。
• 尽管在动力学上无关紧要，这些拓扑项在正则形式中仍具有非平凡的全局角色，与它们在路径积分中对拓扑求和的作用一致。
• 该机制同样适用于非阿贝尔规范理论和广义相对论，其中如庞特里亚金密度等拓扑项通过其辛势对辛结构产生贡献。
• 该形式化方法揭示，作用量中看似无物理意义的总散度项，可在相空间上产生具有物理意义的几何结构，特别是辛形式。