[论文解读] Topology from enrichment: the curious case of partial metrics

Dirk Hofmann, Isar Stubbe|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过证明偏度量空间自然地作为Lawvere的扩展非负实数上的量化幺半群的对角线量化幺半群上的范畴化范畴而出现，建立了偏度量空间的范畴基础。它在范畴化范畴上引入了一个典范的闭包算子，证明该算子在偏度量空间中诱导出正确的拓扑结构和柯西收敛性，并通过分配器的表示性刻画了可指数性与柯西完备性。

ABSTRACT

For any small quantaloid $\Q$, there is a new quantaloid $\D(\Q)$ of diagonals in $\Q$. If $\Q$ is divisible then so is $\D(\Q)$ (and vice versa), and then it is particularly interesting to compare categories enriched in $\Q$ with categories enriched in $\D(\Q)$. Taking Lawvere's quantale of extended positive real numbers as base quantale, $\Q$-categories are generalised metric spaces, and $\D(\Q)$-categories are generalised partial metric spaces, i.e.\ metric spaces in which self-distance need not be zero and with a suitably modified triangular inequality. We show how every small quantaloid-enriched category has a canonical closure operator on its set of objects: this makes for a functor from quantaloid-enriched categories to closure spaces. Under mild necessary-and-sufficient conditions on the base quantaloid, this functor lands in the category of topological spaces; and an involutive quantaloid is Cauchy-bilateral (a property discovered earlier in the context of distributive laws) if and only if the closure on any enriched category is identical to the closure on its symmetrisation. As this now applies to metric spaces and partial metric spaces alike, we demonstrate how these general categorical constructions produce the "correct" definitions of convergence and Cauchyness of sequences in generalised partial metric spaces. Finally we describe the Cauchy-completion, the Hausdorff contruction and exponentiability of a partial metric space, again by application of general quantaloid-enriched category theory.

研究动机与目标

• 通过量化幺半群范畴化范畴理论统一偏度量空间的范畴与拓扑结构。
• 利用范畴工具将度量闭包和柯西完备性的概念推广到偏度量空间。
• 刻画广义偏度量空间范畴中偏度量空间可指数性的条件。
• 证明偏度量空间上的范畴闭包与其标准拓扑闭包一致，并正确捕捉收敛性与柯西序列。
• 基于范畴化范畴理论，为偏度量空间中的柯西完备化与Hausdorff构造提供一个通用框架。

提出的方法

• 从给定的小量化幺半群 $\mathcal{Q}$ 构造其对角线量化幺半群 $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$，特别地将其应用于 $[0,\infty]$。
• 将偏 $\mathcal{Q}$-范畴定义为 $\mathcal{D}(\mathcal{Q})$-范畴化范畴，证明其精确对应于广义偏度量空间。
• 在任意量化幺半群范畴化范畴的对象集合上引入一个典范闭包算子，推广度量闭包概念。
• 刻画该闭包何时构成拓扑空间，以及何时与对称化范畴的闭包一致。
• 将范畴闭包应用于偏度量空间，并证明其与标准的拓扑收敛性与柯西序列概念一致。
• 利用范畴化范畴中可指数函子的一般理论，推导出偏度量空间可指数性的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从偏度量空间的范畴化范畴结构中推导出其拓扑？
• RQ2 偏度量空间中柯西完备性的范畴类比是什么？它与分配器的表示性有何关系？
• RQ3 在 $\mathcal{D}([0,\infty])$-范畴上，范畴闭包在何种条件下与标准拓扑闭包一致？
• RQ4 在广义偏度量空间范畴中，偏度量空间在何种条件下是可指数的？
• RQ5 能否从范畴化理论推导出偏度量空间上的Hausdorff构造？

主要发现

• 在 $\mathcal{D}([0,\infty])$-范畴（即广义偏度量空间）上，范畴闭包与由偏度量诱导的标准拓扑闭包一致。
• 一个序列在偏度量空间中收敛，当且仅当它在范畴闭包算子诱导的拓扑中收敛。
• 一个序列在偏度量空间中是柯西序列，当且仅当其对应的分配器是可表示的，这推广了Lawvere对柯西完备性的刻画。
• 广义偏度量空间在范畴 $\mathsf{G}\mathsf{P}\mathsf{Met}$ 中可指数，当且仅当对所有 $x_0, x_2 \in X$ 和 $u,v,w \in [0,\infty[$ 满足 $p(x_0,x_2) \leq u - v + w$，$p(x_0,x_0) \vee v \leq u$，以及 $p(x_2,x_2) \vee v \leq w$，存在 $x_1 \in X$ 使得 $p(x_1,x_1) = v$，$p(x_0,x_1) \leq u + \varepsilon$，且 $p(x_1,x_2) \leq w + \varepsilon$ 对所有 $\varepsilon > 0$ 成立。
• 每个单射偏度量空间都是可指数的，且单射偏度量空间的全子范畴是笛卡尔闭的。