[论文解读] Categorical structures enriched in a quantaloid: categories, distributors and functors

Isar Stubbe|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 121

一句话总结

本文通过在具有额外结构的双范畴——量化幺半群（quantaloid）中，发展出一个关于范畴、函子和分配器（distributors）的全面框架，将丰富范畴理论进行推广。它在这一推广设定下建立了关键范畴构造，如伴随函子、Kan扩张、加权（共）极限以及Morita等价性，并证明了关于量化幺半群的分配器双范畴是精确意义上的普遍构造，从而统一并扩展了经典丰富范畴理论。

ABSTRACT

We thoroughly treat several familiar and less familiar definitions and results concerning categories, functors and distributors enriched in a base quantaloid Q. In analogy with V-category theory we discuss such things as adjoint functors, (pointwise) left Kan extensions, weighted (co)limits, presheaves and free (co)completion, Cauchy completion and Morita equivalence. With an appendix on the universality of the quantaloid Dist(Q) of Q-enriched categories and distributors.

研究动机与目标

• 将此前仅在对称张量闭合范畴中定义的V-范畴理论，推广至更一般的量化幺半群设定，即单对象双范畴。
• 系统发展在量化幺半群Q中丰富的范畴、函子和分配器的理论，包括伴随关系、Kan扩张和加权（共）极限。
• 研究Q-丰富范畴和分配器的双范畴Dist(Q)的普遍性质，确立其为普遍构造。
• 将预层、自由（共）完备化、柯西完备化以及Morita等价性等概念推广至量化幺半群丰富设定。
• 通过以双范畴（量化幺半群）取代对称张量范畴，为高阶和广义丰富范畴理论提供基础。

提出的方法

• 使用量化幺半群Q作为基范畴，其中同态对象配备有量化环（quantale）结构，从而能够定义Q-范畴和Q-分配器。
• 将Q-范畴定义为在量化幺半群Q中丰富的范畴，其同态对象属于Q的同态范畴，并在它们之间构造函子和分配器。
• 通过利用Q的闭合结构，特别是复合函子的右伴随，来在Q-丰富设定中引入伴随函子、左Kan扩张和加权（共）极限。
• 应用Q-丰富范畴和Q-分配器的双范畴Dist(Q)的普遍性质，证明其普遍地表示Q-范畴和函子的2-范畴。
• 在Q-范畴中运用柯西完备化和Morita等价性的概念，利用特定伴随对和幂等分配器的存在性。
• 将Q-分配器视为广义的预函子（profunctors），其复合通过量化环结构和普遍性质来定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将V-范畴理论从对称张量闭合范畴推广至任意量化幺半群（即单对象双范畴）？
• RQ2 在Q-丰富范畴理论中，伴随函子、Kan扩张和加权（共）极限的适当类比是什么，其中Q是一个量化幺半群？
• RQ3 Q-范畴和函子的2-范畴的普遍性质能否通过Q-范畴和Q-分配器的双范畴Dist(Q)来捕捉？
• RQ4 在Q-丰富设定中，预层、自由（共）完备化、柯西完备化和Morita等价性等概念如何延伸？
• RQ5 量化幺半群的闭合结构在丰富范畴背景下，如何促成内部同态和伴随关系的构造？

主要发现

• Q-丰富范畴和Q-分配器的双范畴Dist(Q)在某种精确意义上是普遍的，因为它通过普遍性质表示了Q-范畴和函子的2-范畴。
• Q-范畴中的伴随关系、左Kan扩张和加权（共）极限通过基量化幺半群Q的闭合结构来刻画，推广了V-范畴理论中的经典结果。
• Q-范畴上的预层被定义为从终端Q-范畴到给定Q-范畴的Q-分配器，而自由共完备化通过Yoneda嵌入来构造。
• Q-范畴的柯西完备化被刻画为自由共完备化中表示性Q-分配器的全子范畴，推广了经典概念。
• Q-范畴之间的Morita等价性通过存在一个既是全忠实又本质满射的Q-分配器来刻画，推广了经典Morita理论。
• 在Q中存在复合函子的右伴随（记为{f,−}和[f,−]）对于定义内部同态以及实现丰富极限和余极限的构造至关重要。