[论文解读] Topology of unavoidable complexes

Duško Jojić, Wacław Marzantowicz+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文建立了一套拓扑框架，将 r-不可避免单纯复形的组合性质与它们的删去连积的等变拓扑联系起来，证明了 r-不可避免复形的连积在 R^d 中是几乎 r-不可嵌入的。核心贡献是定理 4.6，该定理通过等变指标不等式，将 Tverberg 型结果推广为：此类连积满足拓扑 Tverberg 条件。该研究在组合拓扑学与合作博弈论中具有应用价值。

ABSTRACT

The partition number $π(K)$ of a simplicial complex $K\subset 2^{[m]}$ is the minimum integer $ν$ such that for each partition $A_1\uplus\ldots\uplus A_ν= [m]$ of $[m]$ at least one of the sets $A_i$ is in $K$. A complex $K$ is $r$-unavoidable if $π(K)\leq r$. We say that a complex $K$ is globally $r$-non-embeddable in $\mathbb{R}^d$ if for each continuous map $f: | K| ightarrow \mathbb{R}^d$ there exist $r$ vertex disjoint faces $σ_1,\ldots, σ_r$ of $| K|$ such that $f(σ_1)\cap\ldots\cap f(σ_r) eq\emptyset$. Motivated by the problems of Tverberg-Van Kampen-Flores type we prove several results (Theorems 3.6, 3.9, 4.6) which link together the combinatorics and topology of these two classes of complexes. One of our central observations (Theorem 4.6), summarizing and extending results of G. Schild, B. Grünbaum and many others, is that interesting examples of (globally) $r$-non-embeddable complexes can be found among the joins $K = K_1\ast\ldots\ast K_s$ of $r$-unavoidable complexes.

研究动机与目标

• 形式化并扩展 r-不可避免单纯复形的拓扑性质。
• 将组合不变量 π(K) 与删去连积 K^{*r}_Δ 的等变拓扑联系起来。
• 提供一种系统化方法，通过 r-不可避免复形的连积生成几乎 r-不可嵌入的复形。
• 统一并推广 Tverberg-Van Kampen-Flores 理论、Gromov 约束方法以及博弈论构造的结果。

提出的方法

• 将划分数 π(K) 定义为最小的 ν，使得 [m] 的任意 ν-划分中都存在一个部分属于 K，当 π(K) ≤ r 时即得 r-不可避免复形。
• 使用等变指标 Ind_G 和 G-亏格 γ_G 来度量删去连积 K^{*r}_Δ 的拓扑复杂度。
• 建立 π(K) 与 Ind_G(K^{*r}_Δ) 之间的不等式关系，例如当 r = p^k 且 G = (Z_p)^k 时，有 Ind_G(K^{*r}_Δ) ≥ m − π(K)。
• 证明定理 4.6，表明 r-不可避免复形 K₁ * … * Kₛ 的连积在 R^d 中是几乎 r-不可嵌入的。
• 将该方法应用于合作博弈论中的阈值复形，其中 r-不可避免复形源于配额 q = w([n])/r 的加权多数博弈。
• 推导出维度条件 (r−1)(d+s+1)+1 = m₁+…+mₛ，以确定不可嵌入性的环境维数 d。

实验结果

研究问题

• RQ1 划分数 π(K) 与删去连积 K^{*r}_Δ 的等变拓扑复杂度之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，r-不可避免复形的连积在 R^d 中成为几乎 r-不可嵌入的？
• RQ3 能否通过 r-不可避免复形系统化推广 Tverberg-Van Kampen-Flores 型定理的约束方法？
• RQ4 阈值复形在生成 r-不可避免复形与几乎 r-不可嵌入构型中起什么作用？
• RQ5 博弈论与组合拓扑学的结果在 r-不可避免复形的背景下如何交汇？

主要发现

• 定理 4.6 建立了：若 K₁,…,Kₛ 为 r-不可避免，则其连积 K = K₁ * … * Kₛ 在 R^d 中是几乎 r-不可嵌入的，其中 d 满足 (r−1)(d+s+1)+1 = m₁+…+mₛ。
• 当 r = p^k 时，不等式 Ind_G(K^{*r}_Δ) ≥ m − π(K) 成立，其中 G = (Z_p)^k，m 为顶点数。
• 复形 [5]∗[5]∗[5] 在 R³ 中是几乎 3-不可嵌入的，实现了三色星形构型的彩色 Tverberg 定理。
• 由 w(X) ≤ w([n])/r 定义的阈值复形是 r-不可避免的，为构造 r-不可避免复形提供了有效方法。
• 该方法通过连积生成了新的几乎 r-不可嵌入复形示例，扩展了 Grünbaum、Schild 以及 Blagojević–Frick–Ziegler 的结果。
• 该框架通过 r-不可避免复形的视角，统一了 Tverberg 型定理、拓扑指标理论与合作博弈论。