[论文解读] Combinatorics of embeddings

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 49被引用 8

一句话总结

本文引入了二元胞复形——一种有限胞复形，其中每个非空胞胞都有唯一的互补胞——以提供一个统一的组合框架，用于理解欧几里得空间中的嵌入。研究证明，$(2n+1)$-维二元胞复形的$n$-骨架是$\mathbb{R}^{2n}$中嵌入的禁止极小因子，从而为平面性和无环嵌入的Kuratowski准则以及Robertson–Seymour–Thomas准则提供了新视角。

ABSTRACT

We offer the following explanation of the statement of the Kuratowski graph planarity criterion and of 6/7 of the statement of the Robertson-Seymour-Thomas intrinsic linking criterion. Let us call a cell complex 'dichotomial' if to every cell there corresponds a unique cell with the complementary set of vertices. Then every dichotomial cell complex is PL homeomorphic to a sphere; there exist precisely two 3-dimensional dichotomial cell complexes, and their 1-skeleta are K_5 and K_{3,3}; and precisely six 4-dimensional ones, and their 1-skeleta all but one graphs of the Petersen family. In higher dimensions n>2, we observe that in order to characterize those compact n-polyhedra that embed in S^{2n} in terms of finitely many "prohibited minors", it suffices to establish finiteness of the list of all (n-1)-connected n-dimensional finite cell complexes that do not embed in S^{2n} yet all their proper subcomplexes and proper cell-like combinatorial quotients embed there. Our main result is that this list contains the n-skeleta of (2n+1)-dimensional dichotomial cell complexes. The 2-skeleta of 5-dimensional dichotomial cell complexes include (apart from the three joins of the i-skeleta of (2i+2)-simplices) at least ten non-simplicial complexes.

研究动机与目标

• 为Kuratowski平面性准则和Robertson–Seymour–Thomas的内在环链准则提供组合解释。
• 通过有限多个禁止极小因子来刻画$\mathbb{R}^{2n}$中$n$-多面体的嵌入。
• 识别出一类胞复形——二元胞复形——作为$\mathbb{R}^{2n}$中嵌入的最小障碍。
• 证明$(2n+1)$-维二元胞复形的$n$-骨架正是当所有真子复形和商复形均可嵌入时，不可嵌入的最小复形。
• 通过将结果完全转化为组合语言，消除对非可计算拓扑概念（如PL球面）的依赖。

提出的方法

• 将胞复形定义为二元的，若每个非空胞胞都有唯一的互补胞（互补于顶点集）。
• 证明每个二元胞复形都PL同胚于一个球面，从而确立该类的强拓扑约束。
• 对所有$3$-维和$4$-维二元胞复形进行分类：两个复形的$1$-骨架分别为$K_5$和$K_{3,3}$，另有六个复形的$1$-骨架来自Petersen家族。
• 利用边收缩（在链不相交条件下）定义$h$-极小因子，从而建立嵌入性的禁止极小因子刻画。
• 应用模2的van Kampen障碍及其上边缘条件，证明当障碍消失时，可通过Whitney技巧实现嵌入。
• 通过构造显式同伦与锥扩张，利用环绕数和代数交点奇偶性来消除映射中的重叠点。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kuratowski平面性准则和内在环链准则背后的组合结构是什么？
• RQ2 哪些有限胞复形是$\mathbb{R}^{2n}$中嵌入$n$-多面体的最小障碍？
• RQ3 能否通过有限多个禁止极小因子来刻画$S^{2n+1}$中无环嵌入的存在性？
• RQ4 二元胞复形与$4$维中van Kampen障碍和Whitney技巧有何关系？
• RQ5 在嵌入准则中，能否用纯粹的组合条件替代如PL球面和可缩多面体等拓扑概念？

主要发现

• 每个二元胞复形都PL同胚于一个球面，为该类提供了强拓扑不变量。
• 恰好存在两个$3$-维二元胞复形，其$1$-骨架分别为$K_5$和$K_{3,3}$。
• 恰好存在六个$4$-维二元胞复形，其$1$-骨架为Petersen家族中除一个图外的所有图。
• $(2n+1)$-维二元胞复形的$n$-骨架构成了$\mathbb{R}^{2n}$中嵌入的最小障碍的完整列表，前提是$(n-1)$-连通$n$-复形的不可嵌入性是有限的。
• $5$-维二元胞复形的$2$-骨架至少包含十个非单纯复形，这些复形超出了$(2i+2)$-单纯形的$i$-骨架的连通和。
• 当模2的van Kampen障碍消失且满足环绕条件时，Whitney技巧在$4$维中对$2$-多面体$P$及其$1$-维子复形$Q$成立。