[论文解读] Torelli Groups and Geometry of Moduli Spaces of Curves

Richard Hain|ArXiv.org|Mar 27, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 47

一句话总结

本文通过 Saito 的 Hodge 模理论，详细阐述了从雅可比簇的初等上同调到 Torelli 群的一阶有理上同调的 Johnson 同态。对于 $ g \geq 3 $，证明了带水平 $ l $ 结构的模空间 $ \mathcal{M}_g(l) $ 的 Picard 群是有限生成的，且所有通有定义的正规函数均为循环 $ C - C^{-} $ 的有理倍数，从而给出了 Harris-Pulte 定理的新证明，并证明了关于水平结构的广义 Franchetta 猜想。

ABSTRACT

In this paper we give an exposition of Dennis Johnson's work on the first homology of the Torelli groups and show how it can be applied, alone and in concert with Saito's theory of Hodge modules, to study the geometry of moduli spaces of curves. For example, we show that the picard groups of moduli spaces of curves with a fixed level structure are finitely generated, classify all "natural" normal functions defined over moduli spaces of curves with a fixed level, and also "compute" the height paring between cycles over moduli spaces of curves which are homologically trivial and disjoint over the generic point. Several new sections have been added. These apply the results on normal functions to prove generalizations of the classical Franchetta conjecture for curves and abelian varieties. In one section, the monodromy group of nth roots of the canonical bundle is computed.

研究动机与目标

• 提供从 $ PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ 到 $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) $ 的 Johnson 同态的全面阐述，该同态将 Torelli 群上同调与雅可比簇几何联系起来。
• 应用 Johnson 的计算结果与 Saito 的 Hodge 模理论，确定 $ g \geq 3 $ 时 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上通有定义的正规函数的结构。
• 证明关于带水平 $ l $ 结构的通用曲线的广义 Franchetta 猜想，表明其 Picard 群模挠子群后为秩 1 的有限生成群。
• 在维数约束下，计算曲线模空间上同调平凡且不相交的循环之间的阿基米德高度配对。
• 将类似结果推广至主极化阿贝尔簇模空间 $ \mathcal{A}_g(l) $，证明正规函数的有限性与高度配对的有理性。

提出的方法

• 阐述 Johnson 同态的三种等价构造方式，并证明其等价性，这对正规函数的应用至关重要。
• 利用 Saito 的 Hodge 模理论分析 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上的 Hodge 结构变化，特别是负权重情形。
• 应用 Johnson 的结果 $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) \cong PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ 来分类 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上的正规函数，表明它们模挠子群后均为循环 $ C - C^{-} $ 的有理倍数。
• 计算映射类群 $ \Gamma_g $ 对其作用于 canonical bundle 的 $ n $ 次根的核的商群，证明仅 canonical bundle 与 theta 特征线丛是全局定义的。
• 利用 Nori 关于 $ \mathcal{A}_g(L) $ 的有限覆盖上正规函数的结果，与 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上的结果进行比较，尤其在分支覆盖情形下。
• 将第 9 节的论证方法加以改编，证明 $ Sp_g $ 的不可约表示要么为偶数，要么为奇数，从而确定相关 Hodge 结构的权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ g \geq 3 $ 且带水平 $ l $ 结构的情形，$ \mathcal{M}_g(l) $ 上通有定义的正规函数群的精确结构是什么？
• RQ2 Johnson 同态如何与模空间 $ \mathcal{M}_g(l) $ 的几何相关联，特别是其上同调与 Picard 群方面？
• RQ3 经典 Franchetta 猜想能否推广到带水平 $ l $ 结构的曲线模空间？此时 Picard 群的结构如何？
• RQ4 在标准维数约束下，曲线模空间上两个同调平凡且不相交的循环之间的阿基米德高度配对是什么？
• RQ5 在 Nori 定理的背景下，$ \mathcal{M}_g(l) $ 上关于正规函数与高度配对的结果，与 $ \mathcal{A}_g(l) $ 上的类似结果相比如何？

主要发现

• 对于 $ g \geq 3 $，$ \mathcal{M}_g(l) $ 的 Picard 群是有限生成的，其挠子群同构于 $ (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^{2g} $，模挠子群后，若 $ l $ 为奇数，则由 canonical bundle 生成；若 $ l $ 为偶数，则由 canonical bundle 的平方根生成。
• 对于 $ g \geq 3 $，所有 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上通有定义的正规函数模挠子群后，均为循环 $ C - C^{-} $ 的有理倍数。
• 在 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上，两个相对维数分别为 $ d $、$ e $、$ n $ 的同调平凡且不相交的循环之间，若满足 $ d + e = n - 1 $，则其阿基米德高度配对为 $ \log|h(A)| $，其中 $ h $ 为 $ \mathcal{M}_g(l) $ 上的某个有理函数。
• 在 Torelli 空间上，仅 canonical bundle 本身及其所有 theta 特征线丛是定义良好的根，这是通过计算 $ \Gamma_g $ 对其作用于 $ n $ 次根的核的商群得出的结论。
• 对于 $ \mathcal{A}_g(L) $，当 $ g \geq 2 $ 且 $ L/\pm I $ 为无挠时，若 Hodge 结构变化的权重为负，且 monodromy 表示为有理 $ Sp_g $-表示的限制，则其正规函数群是有限的。
• 对于 $ \mathcal{A}_g(L) $，若不相交且同调平凡的循环满足 $ d + e = n - 1 $，且 monodromy 表示为有理 $ Sp_g $-表示的限制，则其高度配对为有理数，形式为 $ \log|h(A)| $。