[论文解读] Toric Degenerations and the Laurent polynomials related to Givental's Landau-Ginzburg models

Andrew Harder, Charles F. Doran|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文建立了toric Fano完全交在toric簇中的可接受toric退化与Givental的Landau-Ginzburg (LG)镜像的Laurent多项式模型之间的直接对应关系。通过构造到Gorenstein toric弱Fano簇的显式退化，作者证明了LG超势能可表示为Laurent多项式，其Newton多面体与退化后的扇形一致。该结果统一并推广了先前的方法，包括Przyjalkowski和Coates-Kasprzyk-Prince的方法，并通过镜像对称实现了Calabi-Yau簇的几何转变。

ABSTRACT

For an appropriate class of Fano complete intersections in toric varieties, we prove that there is a concrete relationship between degenerations to specific toric subvarieties and expressions for Givental's Landau-Ginzburg models as Laurent polynomials. As a result, we show that Fano varieties presented as complete intersections in partial flag manifolds admit degenerations to Gorenstein toric weak Fano varieties, and their Givental Landau-Ginzburg models can be expressed as corresponding Laurent polynomials. We also use this to show that all of the Laurent polynomials obtained by Coates, Kasprzyk and Prince by the so called Przyjalkowski method correspond to toric degenerations of the corresponding Fano variety. We discuss applications to geometric transitions of Calabi-Yau varieties.

研究动机与目标

• 建立Fano完全交在toric簇中的toric退化与Givental的Landau-Ginzburg (LG)镜像的Laurent多项式模型之间的精确对应关系。
• 将Przyjalkowski方法和Coates-Kasprzyk-Prince构造Laurent多项式的方法推广至部分旗流形中的Fano簇。
• 证明Fano完全交在toric簇中的Givental LG模型可通过可接受toric退化表示为Laurent多项式。
• 将此对应关系应用于通过镜像对称实现Calabi-Yau超曲面的几何转变。
• 证明所得Laurent多项式的Newton多面体与退化后toric簇的射线生成元的凸包一致。

提出的方法

• 将'可接受toric退化'定义为Fano完全交在toric簇中的嵌入toric退化类，其保持关键组合结构。
• 使用Givental的方法，将Landau-Ginzburg模型构造为(C*)^n中的完全交，并定义超势能w。
• 证明若Fano完全交X可接受地退化为toric簇X_Σ，则X的Givental LG模型为Laurent多项式，其Newton多面体等于Σ的一维射线的凸包。
• 将该方法应用于部分旗流形中的Fano完全交，证明其可退化为Gorenstein toric弱Fano簇。
• 利用[14]和[5]中的toric退化技术，构造显式退化，并验证LG超势能的Laurent多项式形式。
• 通过将LG模型的纤维与对偶toric簇中的反canonical超曲面关联，将退化过程重新解释为Calabi-Yau簇中的几何转变。

实验结果

研究问题

• RQ1 可接受toric退化是否可用于构造Fano完全交在toric簇中的Givental LG镜像的Laurent多项式模型？
• RQ2 通过Przyjalkowski方法为Fano四fold构造的所有Laurent多项式是否都对应于其底层Fano簇的实际toric退化？
• RQ3 Fano完全交在部分旗流形中的Givental LG模型是否可通过toric退化表示为Laurent多项式？
• RQ4 是否存在Batyrev-Borisov镜像对偶的Calabi-Yau超曲面与退化Fano簇的对偶toric簇中超曲面之间的镜像对偶有理映射？
• RQ5 Fano完全交的退化在何种条件下会诱导对应Calabi-Yau几何转变中的镜像收缩？

主要发现

• Fano完全交在toric簇中的Givental LG模型可表示为Laurent多项式，其Newton多面体为可接受toric退化中射线生成元的凸包。
• Coates、Kasprzyk和Prince通过Przyjalkowski方法获得的所有Laurent多项式均对应于相关Fano簇的实际toric退化。
• 许多部分旗流形中的Fano完全交（包括所有Grassmannian中的）可退化为Gorenstein toric弱Fano簇，其对应的LG模型为Laurent多项式。
• Laurent多项式的Newton多面体与退化后toric簇的扇形的一维射线的凸包一致。
• Calabi-Yau超曲面的几何转变源于Fano完全交的退化，其镜像对偶通过有理映射实现为对偶toric簇中的反canonical超曲面。
• 该构造提供了一种系统化方法，将toric退化与镜像对称转变联系起来，推广了Mavlyutov和Fredrickson关于通过Minkowski分解实现几何转变的结果。