[论文解读] Bogomolov-Tian-Todorov theorems for Landau-Ginzburg models

Ludmil Katzarkov, Maxim Kontsevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 37

一句话总结

本文通过证明在 Calabi-Yau 型紧化下其模空间的光滑性，建立了 Landau-Ginzburg 模型的 Bogomolov-Tian-Todorov 无阻碍定理。本文引入了 f-适配对数形式的 Hodge-to-De Rham 族谱序列的双重退化性质，使得可通过镜像对称与非交换 Hodge 结构构造模空间上的典范特殊坐标。

ABSTRACT

In this paper we prove the smoothness of the moduli space of Landau-Ginzburg models. We formulate and prove a Tian-Todorov theorem for the deformations of Landau-Ginzburg models, develop the necessary Hodge theory for varieties with potentials, and prove a double degeneration statement needed for the unobstructedness result. We discuss the various definitions of Hodge numbers for non-commutative Hodge structures of Landau-Ginzburg type and the role they play in mirror symmetry. We also interpret the resulting families of de Rham complexes attacted to a potential in terms of mirror symmetry for one parameter families of symplectic Fano manifolds and argue that modulo a natural triviality property the moduli spaces of Landau-Ginzburg models posses canonical special coordinates.

研究动机与目标

• 证明当 $Y$ 具有平凡 canonical 类时，Landau-Ginzburg 模型 $(Y, w)$ 的形变无阻碍。
• 为具有势函数的代数簇发展 Hodge 理论，特别是具有法向相交边界除子的紧化 LG 模型。
• 建立 Hodge-to-De Rham 族谱序列的双重退化性质，这是证明无阻碍性的关键。
• 通过非交换 Hodge 结构的偏斜典范扩张，定义紧化 LG 模型模空间上的典范特殊坐标。
• 通过镜像对称连接 A 模型与 B 模型的非交换 Hodge 结构，表明 B 模型结构的特殊性蕴含典范装饰与坐标。

提出的方法

• 将形变问题表述为控制对偶 $(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}$ 的 $L_∞$-代数，其中 $D_\mathbb{Z}$ 是具有严格法向相交的反 canonical 除子。
• 通过证明 $f$-适配对数形式的 Hodge-to-De Rham 族谱序列的双重退化性质，证明该 $L_\infty$-代数是同伦阿贝尔的。
• 利用双重退化性质，证明形式普遍形变空间 $\mathscr{M}_{(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}}$ 是光滑的。
• 通过 de Rham 复形 $ (\Omega_Y^\bullet[u], ud - d w \wedge) $ 定义 B 模型非交换 Hodge 结构 $({}^\text{{\sf B}}H^\bullet, {}^\text{{\sf B}}\nabla)$，并研究其在无穷远处的单值性。
• 引入 B 模型非交换 Hodge 结构的偏斜典范扩张 $\widetilde{H}$，并在 $u = \infty$ 处定义协变常数截面 $\psi$，以构造典范装饰。
• 通过镜像对称将 A 模型中的特殊性条件（偏斜扩张的平凡性）传递至 B 模型，从而确保模空间上存在典范特殊坐标。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Landau-Ginzburg 模型的模空间是光滑的？
• RQ2 双重退化性质在确保紧化 LG 模型无阻碍形变中起什么作用？
• RQ3 LG 模型的 Hodge 数与非交换 Hodge 结构如何与 Fano 流形单参数族中的镜像对称相关联？
• RQ4 在何种条件下，紧化 LG 模型模空间上存在典范特殊坐标？
• RQ5 非交换 Hodge 结构的特殊性（偏斜典范扩张的平凡性）如何由镜像对称与单值性产生？

主要发现

• 具有 Calabi-Yau 型紧化的紧化 Landau-Ginzburg 模型的普遍形变空间 $\mathscr{M}_{(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}}$ 是光滑的，从而确立了无阻碍形变。
• f-适配对数形式的 Hodge-to-De Rham 族谱序列满足双重退化性质，这意味着 $L_\infty$-代数是同伦阿贝尔的。
• 当 LG 模型允许温和的 Calabi-Yau 紧化时，B 模型非交换 Hodge 结构 $({}^\text{{\sf B}}H^\bullet, {}^\text{{\sf B}}\nabla)$ 是特殊的——其偏斜典范扩张是全纯平凡的。
• 在 $\mathbb{P}^1_u \times \mathscr{M}$ 上的通用 B 模型变体 $({}^{\boldsymbol{\textgoth{B}}}H, {}^{\boldsymbol{\textgoth{B}}}\nabla)$ 可通过偏斜扩张的平凡性与 $u = \infty$ 处的协变常数截面 $\psi$ 获得典范装饰。
• 紧化 LG 模型模空间 $\mathscr{M}$ 上的典范特殊坐标由典范装饰数据构造而成，模去一个自然的平凡性条件。
• 对于辛 Fano 流形，A 模型非交换 Hodge 结构是特殊的（偏斜扩张平凡），该性质在 B 模型中被镜像反映，从而确保模空间上存在典范坐标。