[论文解读] Transport information geometry I: Riemannian calculus on probability simplex

Wuchen Li|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用 32

一句话总结

本文通过将概率单纯形嵌入到由线性加权拉普拉斯算子导出的非线性度量张量的正测度空间中，利用 $L^2$-Wasserstein 度量在概率单纯形上建立了黎曼微积分。主要贡献在于显式推导了无挠率的克里斯托费尔符号、勒维-奇维塔联络、曲率张量、体积形式以及拉普拉斯-贝尔特拉米算子和海森算子，并通过巴克里-埃梅里 $\Gamma_2$ 算子建立了费雪-罗信息度量与 Wasserstein 度量之间的新联系。

ABSTRACT

We formulate the Riemannian calculus of the probability set embedded with $L^2$-Wasserstein metric. This is an initial work of transport information geometry. Our investigation starts with the probability simplex (probability manifold) supported on vertices of a finite graph. The main idea is to embed the probability manifold as a submanifold of the positive measure space with a nonlinear metric tensor. Here the nonlinearity comes from the linear weighted Laplacian operator. By this viewpoint, we establish torsion-free Christoffel symbols, Levi-Civita connections, curvature tensors and volume forms in the probability manifold by Euclidean coordinates. As a consequence, the Jacobi equation, Laplace-Beltrami and Hessian operators on the probability manifold are derived. These geometric computations are also provided in the infinite-dimensional density space (density manifold) supported on a finite-dimensional manifold. In particular, an identity is given connecting the Baker-{É}mery $Γ_2$ operator (carr{é} du champ it{é}r{é}) by connecting Fisher-Rao information metric and optimal transport metric. Several examples are demonstrated.

研究动机与目标

• 在配备 $L^2$-Wasserstein 度量的概率单纯形上建立黎曼微积分，解决关于密度流形上克里斯托费尔符号、拉普拉斯算子和体积形式的开放问题。
• 将有限图上的几何结构扩展到有限维黎曼流形上的无限维密度流形。
• 通过巴克里-埃梅里 $\Gamma_2$ 算子建立费雪-罗信息度量与最优传输度量之间的规范联系。
• 为几何对象（如海森算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子和雅可比方程）提供显式公式。
• 通过推导密度流形上泛函的海森算子的闭式表达式，解决维拉尼著作中的开放问题 15.11。

提出的方法

• 将概率流形作为配备由线性加权拉普拉斯算子导出的非线性黎曼度量张量的正测度空间的子流形进行嵌入。
• 利用欧几里得坐标和通过拉普拉斯算子定义的度量张量，在概率单纯形上推导无挠率克里斯托费尔符号和勒维-奇维塔联络。
• 通过利用正测度空间的内在几何，构建曲率张量、体积形式和拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
• 通过类比的几何构造，将推导结果扩展到定义在有限维流形上的无限维密度流形。
• 利用费雪-罗度量与 Wasserstein 度量之间的联系，通过密度流形上的度量张量推导巴克里-埃梅里 $\Gamma_2$ 算子。
• 推导概率流形上的漂移-扩散随机过程，表明其平稳分布为吉布斯测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在配备 $L^2$-Wasserstein 度量的密度流形上，克里斯托费尔符号、拉普拉斯-贝尔特拉米算子、体积形式和散度算子能否被严格定义？
• RQ2 是否存在一个几何联系将费雪-罗度量与 Wasserstein 度量连接到巴克里-埃梅里 $\Gamma_2$ 算子？
• RQ3 在 $L^2$-Wasserstein 度量下，密度流形上泛函的海森算子的显式形式是什么？
• RQ4 如何从正测度空间中的非线性度量张量推导出有限图上概率单纯形的黎曼结构？
• RQ5 在 Wasserstein 度量下，与梯度流对应的概率流形上的随机过程是什么？其平稳分布是什么？

主要发现

• 嵌入在配备 $L^2$-Wasserstein 度量的正测度空间中的概率流形具有无挠率的勒维-奇维塔联络，其克里斯托费尔符号由线性加权拉普拉斯算子显式导出。
• 离散概率流形上的体积形式被显式构造，并显示与正卦限的几何一致。
• 通过度量张量和曲率结构，推导出概率流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子和海森算子，为分析流形上的泛函提供了工具。
• 为密度流形上泛函的海森算子推导出闭式表达式，解决了维拉尼著作中的开放问题 15.11。
• 在 Wasserstein 度量下，概率流形上的漂移-扩散过程满足一个随机微分方程，其平稳分布为吉布斯测度，形式为 $\mathbb{P}^*(\rho) = \frac{1}{K}e^{-\mathcal{F}(\rho)/\beta}$。
• 建立了一个新恒等式，将巴克里-埃梅里 $\Gamma_2$ 算子与费雪-罗度量和 Wasserstein 度量的组合联系起来，揭示了信息几何与最优传输之间深层的几何联系。