[论文解读] Transposes, L-Eigenvalues and Invariants of Third Order Tensors

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过将三阶张量建模为将一阶和二阶张量相互转换的线性算子，提出了一套系统化的三阶张量理论，定义了新的概念，包括转置、核张量、L-特征值和L-逆。主要贡献在于证明了L-特征值、奇异值及其他谱不变量是张量不变量，并将其应用于基本张量（如压电张量和Levi-Civita张量），并提出一个猜想：三阶对称张量具有七个独立不变量。

ABSTRACT

Third order tensors have wide applications in mechanics, physics and engineering. The most famous and useful third order tensor is the piezoelectric tensor, which plays a key role in the piezoelectric effect, first discovered by Curie brothers. On the other hand, the Levi-Civita tensor is famous in tensor calculus. In this paper, we study third order tensors and (third order) hypermatrices systematically, by regarding a third order tensor as a linear operator which transforms a second order tensor into a first order tensor, or a first order tensor into a second order tensor. For a third order tensor, we define its transpose, kernel tensor and L-eigenvalues. Here, "L" is named after Levi-Civita. The transpose of a third order tensor is uniquely defined. In particular, the transpose of the piezoelectric tensor is the inverse piezoelectric tensor (the electrostriction tensor). The kernel tensor of a third order tensor is a second order positive semi-definite symmetric tensor, which is the product of that third order tensor and its transpose. We define L-eigenvalues, singular values, C-eigenvalues and Z-eigenvalues for a third order tensor. They are all invariants of that third order tensor. For a third order partially symmetric tensor, we give its eigenvector decomposition. The piezoelectric tensor, the inverse piezoelectric tensor, and third order symmetric tensors are third order partially symmetric tensors. We make a conjecture a third order symmetric tensor has seven independent invariants. We raise the questions on how may independent invariants a third order tensor, a third order partially symmetric tensor and a third order cyclically symmetric tensor may have respectively.

研究动机与目标

• 通过将三阶张量视为一阶与二阶张量之间的线性算子，发展三阶张量的系统理论。
• 为三阶张量定义张量不变的谱量，如L-特征值、奇异值和C-特征值。
• 通过引入在正交变换下保持不变的不变量，明确张量性质与超矩阵性质之间的区别。
• 在此框架下，研究压电张量和Levi-Civita张量等关键物理张量的代数与几何结构。
• 提出关于各类三阶张量独立不变量数量的开放问题。

提出的方法

• 将三阶张量的转置定义为一种唯一操作，可反转变换方向，且满足连续应用三次可恢复原始张量的性质。
• 引入核张量作为三阶张量与其转置的乘积，其结果恒为正半定对称的二阶张量。
• 将三阶张量的L-逆定义为唯一满足：当应用于原始张量输出时可恢复输入的逆运算，当且仅当张量非奇异时存在。
• 通过方程 $ \mathcal{A} \mathbf{z} = \sigma \mathcal{A}^\top \mathbf{z} $ 定义L-特征值，其中 $ \sigma $ 为L-特征值，$ \mathbf{z} $ 为相应向量。
• 证明L-特征值、奇异值、C-特征值和Z-特征值均在正交变换下保持不变。
• 以Levi-Civita张量作为典型示例，验证理论：其为非奇异张量，L-特征值为 $ \sqrt{2} $，核张量为 $ 2\mathbf{I} $，其逆为 $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 三阶张量在张量理论中，其矩阵转置和特征值的正确类比是什么？
• RQ2 三阶对称张量具有多少个独立不变量，它们分别是什么？
• RQ3 三阶张量的L-逆是否可以唯一定义，并用于在物理变换中从输出恢复输入？
• RQ4 选择性地仅在右侧或左侧具有对称性的性质是否在正交变换下保持不变？如何从代数上刻画这些性质？
• RQ5 对称三阶张量中，Z-特征值、L-特征值与奇异值之间存在何种关系？

主要发现

• 三阶张量的转置被唯一定义，并满足 $ \mathcal{A}^{\top\top\top} = \mathcal{A} $，推广了矩阵转置的性质。
• 三阶张量的核张量是通过 $ \mathcal{A} \mathcal{A}^\top $ 构造的正半定对称二阶张量，且在正交变换下保持不变。
• 三阶张量的L-逆存在当且仅当该张量非奇异，且能唯一地从原始变换的输出恢复输入向量。
• 对于Levi-Civita张量 $ \mathcal{E} $，其所有L-特征值均为 $ \sqrt{2} $，其核张量为 $ 2\mathbf{I} $，其逆为 $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $。
• 逆压电张量即为压电张量的L-逆，且变换 $ \mathbf{z} = \mathcal{A}^{-1} \mathbf{U} $ 可从形变恢复电场。
• 提出一个猜想：三维空间中三阶对称张量恰好具有七个独立不变量，依据是通用对称超矩阵的七个E-特征值。