[论文解读] Trees with given degree sequences that have minimal subtrees

Xiumei Zhang, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Graph theory and applications参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文研究了具有给定度序列的树中子树数量最少的情况，证明此类极值树必为叶状树（caterpillars）——尽管未必唯一。对于最多包含五个非叶顶点的度序列，本文完全刻画了最小子树数的树结构，表明其结构取决于度分量的相对大小，并在每种情况下给出了最小子树数的显式公式。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the structures of an extremal tree which has the minimal number of subtrees in the set of all trees with the given degree sequence of a tree. In particular, the extremal trees must be caterpillar and but in general not unique. Moreover, all extremal trees with a given degree sequence $π=(d_1, ..., d_5, 1,..., 1)$ have been characterized.

研究动机与目标

• 确定在所有具有指定度序列的树中，子树数的下限。
• 刻画所有达到该最小子树数的极值树。
• 研究对于给定度序列，此类最小子树数的树是否唯一。
• 建立这些极值树的结构性质，特别是其叶状树形式。
• 根据度序列分量推导最小子树数的显式公式。

提出的方法

• 通过路径扩展和度数矛盾论证，证明任何在固定度序列下最小化子树数的树必为叶状树。
• 应用组合计数技术，对叶状树结构中的子树进行计数，利用路径与悬挂顶点组合的子树计数公式。
• 使用字典序排序和基于度数的排列分析，比较不同叶状树配置下的子树计数。
• 运用关键引理（引理3.1）根据子树计数中的指数项，确定叶状树脊柱中度数的最优排列。
• 通过分析叶状树脊柱中每个内部顶点及其邻居的贡献，推导出最小子树数的闭式表达式。
• 基于度数值，使用涉及2的幂次的差值公式，比较不同叶状树配置之间的子树计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有具有给定度序列的树中，可能的最小子树数是多少？
• RQ2 对于给定度序列，最小化子树数的极值树是否唯一？
• RQ3 在固定度序列下，最小子树数的树具有哪些结构特性？
• RQ4 非叶顶点度数的排序如何影响叶状树中的子树数量？
• RQ5 当非叶顶点数量较小时（≤5），能否推导出最小子树数的显式公式？

主要发现

• 所有在给定度序列下最小化子树数的极值树必为叶状树，尽管它们未必唯一。
• 对于恰好包含两个非叶顶点的度序列，最小子树数唯一确定，且由公式 $ \varphi(T) = 2^{n-2} + 2^{d_1-1} + 2^{d_2-1} + n - 2 $ 给出。
• 对于三个非叶顶点，最小子树数由叶状树 $ C(d_1-2, d_3-2, d_2-2) $ 唯一实现，其闭式表达式涉及2的幂次之和。
• 对于四个非叶顶点，最小子树数由叶状树 $ C(d_1-2, d_4-2, d_3-2, d_2-2) $ 唯一实现，其公式虽复杂但明确以度分量表示。
• 对于五个非叶顶点，仅在特定条件下最小树唯一：当 $ 2^{d_1} > 2^{d_3-1}(1 + 2^{d_2-1}) $ 且 $ d_4 \neq d_5 $ 时，最小树为 $ C(d_1-2, d_5-2, d_4-2, d_3-2, d_2-2) $。
• 当 $ 2^{d_1} = 2^{d_3-1}(1 + 2^{d_2-1}) $ 或 $ d_4 = d_5 $ 时，存在两个不同的叶状树实现最小子树数，表明在这些情况下存在非唯一性。