[论文解读] Twice-Ramanujan Sparsifiers

Joshua Batson, Daniel A. Spielman+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2008

Graph theory and applications参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，可为任意无向加权图构造谱稀疏化图，其谱近似比为 $\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$，且仅使用 $\lceil d(n-1)\rceil$ 条边——约为拉马努金展开图边数的两倍。该方法将展开图推广至任意图，并实现了线性规模输出的近似最优谱近似。

ABSTRACT

We prove that every graph has a spectral sparsifier with a number of edges linear in its number of vertices. As linear-sized spectral sparsifiers of complete graphs are expanders, our sparsifiers of arbitrary graphs can be viewed as generalizations of expander graphs. In particular, we prove that for every $d>1$ and every undirected, weighted graph $G=(V,E,w)$ on $n$ vertices, there exists a weighted graph $H=(V,F, ilde{w})$ with at most $\lceil d(n-1) ceil$ edges such that for every $x \in \mathbb{R}^{V}$, \[ x^{T}L_{G}x \leq x^{T}L_{H}x \leq (\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}})\cdot x^{T}L_{G}x \] where $L_{G}$ and $L_{H}$ are the Laplacian matrices of $G$ and $H$, respectively. Thus, $H$ approximates $G$ spectrally at least as well as a Ramanujan expander with $dn/2$ edges approximates the complete graph. We give an elementary deterministic polynomial time algorithm for constructing $H$.

研究动机与目标

• 证明对于任意无向加权图，存在一个边数与顶点数线性相关的谱稀疏化图。
• 以确定性多项式时间构造此类稀疏化图，优于以往的随机化或近似方法。
• 实现的谱近似比与拉马努金展开图相当或更优，即使对于非正则图亦然。
• 建立谱稀疏化与凯迪森-辛格猜想之间的联系，暗示其在泛函分析与矩阵理论中的更广泛影响。

提出的方法

• 采用一种基于拉普拉斯矩阵二次型的贪心确定性算法，迭代选择对谱近似贡献最优的边。
• 利用特征值的交错性质及拉普拉斯二次型的结构，对近似比进行界定。
• 应用一个关键不等式，涉及瑞利商与与全1向量正交的向量投影，以推导谱界。
• 利用稀疏化图中加权度有界于 $n$ 与 $n\kappa$ 之间的事实，实现特征值集中性论证。
• 证明近似因子 $\kappa = \frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$ 在渐近意义下为最优，仅相差低阶项。
• 通过表明更强形式的稀疏化定理将蕴含凯迪森-辛格猜想的解，将结果与该猜想联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个无向加权图均可被稀疏化为一个边数为顶点数线性规模的图，且其谱近似因子有界？
• RQ2 是否存在一种确定性多项式时间算法来构造此类谱稀疏化图？
• RQ3 即使对于非正则图，是否也能使近似因子达到与拉马努金展开图相当的水平？
• RQ4 对于平均度为 $d$ 的图，可实现的最佳近似因子是什么？
• RQ5 此类稀疏化图的存在是否意味着凯迪森-辛格猜想的解？

主要发现

• 对于每个 $d > 1$ 及每个 $n$ 个顶点的加权图 $G$，均存在一个谱稀疏化图 $H$，其边数为 $\lceil d(n-1)\rceil$，使得对所有 $x \in \mathbb{R}^V$，有 $x^T L_G x \leq x^T L_H x \leq \left(\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}\right) x^T L_G x$。
• 该算法以确定性 $O(dn^3m)$ 时间构造 $H$，显著优于以往的随机化或近似方法。
• 近似因子 $\kappa = \frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$ 为渐近最优，因为任何平均度为 $d$ 的图都无法实现优于 $1 + \frac{2}{\sqrt{d}} - O\left(\frac{\sqrt{d}}{n}\right)$ 的 $\kappa$。
• 该稀疏化图推广了拉马努金展开图：当 $G$ 为完全图时，$H$ 是一个加权的、非正则的展开图，其谱性质与拉马努金界一致。
• 该结果表明，任何有效电阻足够小的图均可被划分为两个子图，每个子图均能谱近似原图。
• 若将稀疏化定理加强，将蕴含凯迪森-辛格猜想的解，从而在谱图论与泛函分析之间建立深刻联系。