[论文解读] Twisting Poisson algebras, coPoisson algebras and Quantization

Martin Bordemann, Olivier Elchinger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用 17

一句话总结

本文引入了 Hom-coPoisson 代数与双代数，作为 Hom-Poisson 双代数的对偶结构，建立了类似于经典 Poisson-coPoisson 对偶性的对偶关系。它在 Hom 设置下推广了星积量化，通过线性映射 α 描述 Moyal-Weyl 乘积的扭曲，表明仅当满足特定条件（如命题 4.9 所述）的映射才能在多个变量的多项式上产生 Hom-结合变形。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study twistings of Poisson algebras or bialgebras, coPoisson algebras or bialgebras and star-products. We con- sider Hom-algebraic structures generalizing classical algebraic structures by twisting the identities by a linear self map. We summarize the results on Hom-Poisson algebras and introduce Hom-coPoisson algebras and bialge- bras. We show that there exists a duality between Hom-Poisson bialgebras and Hom-coPoisson bialgebras. A relationship between enveloping Hom- algebras endowed with Hom-coPoisson structures and corresponding Hom- Lie bialgebra structures is studied. Moreover we set quantization problems and generalize the notion of star-product. In particular, we characterize the twists for the Moyal-Weyl product for polynomials of several variables.

研究动机与目标

• 将 Hom-代数理论扩展至 coPoisson 与双代数结构，推广经典 Poisson 与 coPoisson 代数之间的对偶性。
• 建立 Hom-Poisson 双代数与 Hom-coPoisson 双代数之间的对偶性，推广经典代数中的一项结果。
• 在 Hom 设置下提出并解决量化问题，推广星积的概念。
• 刻画将 Moyal-Weyl 星积扭曲为多项式代数上 Hom-结合星积的线性映射 α。
• 研究 α-扭曲是否具有函子性，特别是其与 Kontsevich 将 Poisson 结构与星积对应起来的双射之间的关系。

提出的方法

• 通过线性自映射 α 对经典 coPoisson 结构进行扭曲，引入 Hom-coPoisson 代数与双代数。
• 使用以 t 为形式幂级数变量的正式幂级数，以 Moyal-Weyl 乘积为基底，通过 α 扭曲系数来定义 Hom-结合星积。
• 使用 Sweedler 记号与 Hom-结合子分析变形条件，要求在 t^n 的系数中全部为零以保证结合性。
• 应用计算机代数（Mathematica）计算低次多项式的 Hom-结合子，并推导出对 α 的约束条件。
• 分析一次与二次情形，识别出使变形保持结合性的映射 α，从而导出命题 4.9。
• 提出从经典代数结构（如 Poisson 代数）到其 Hom-类比的函子性扭曲构造，其与 Kontsevich 双射可能存在相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些线性映射 α 在对多项式代数上的 Moyal-Weyl 乘积进行扭曲时，能诱导出 Hom-结合星积？
• RQ2 是否存在 Hom-Poisson 双代数与 Hom-coPoisson 双代数之间的对偶性，推广经典对偶性？
• RQ3 能否通过 α-扭曲星积将 Poisson 代数的量化推广至 Hom 设置？
• RQ4 导致 Moyal-Weyl 乘积结合变形的映射 α 是否唯一，或是否由特定代数约束所分类？
• RQ5 α-扭曲构造是否具有函子性，特别是其与 Kontsevich 将 Poisson 括号与星积对应起来的等价性之间的关系？

主要发现

• 在 ℝ[x,y] 上，唯一能使 Moyal-Weyl 星积产生 Hom-结合变形的线性映射 α 是形如 α(x) = (1/b₀₁)x + a₀₁y 与 α(y) = b₀₁y 的映射，且满足 a₀₁ = 0，如命题 4.9 所述。
• 在一次情形下，除非 a₀₁ = 0 且 b₀₁ = 0，否则 Hom-结合子不为零，但要求 b₀₁ ≠ 0；因此仅当 a₀₁ = 0 时才存在有效变形。
• 在二次情形下，计算机辅助计算支持如下猜想：仅命题 4.9 中的映射能产生结合星积。
• 当且仅当映射 α 满足由 t^n 项系数匹配导出的特定线性约束时，扭曲星积的 Hom-结合子才为零。
• Hom-Poisson 与 Hom-coPoisson 双代数之间的对偶性推广了经典对偶性，其结构形式与非 Hom 情形相同。
• 本文提出一种从经典代数结构（如 Poisson 代数）到其 Hom-类比的函子性扭曲构造，其与 Kontsevich 双射可能存在相容性。