[论文解读] Two Person Zero-sum Game in Weak Formulation and Path Dependent Bellman-Isaacs Equation

Triet Pham, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文通过一种对称处理控制的弱形式化方法，避免了基于策略方法的不对称性，建立了两人零和随机微分博弈中博弈值存在的结论。该值过程被表征为路径依赖的 Bellman-Isaacs 方程的唯一粘性解，将经典结果推广至在自然条件下具有非马尔可夫性、扩散控制的设定中。

ABSTRACT

In this paper we study a two person zero sum stochastic differential game in weak formulation. Unlike standard literature which uses strategy type of controls, the weak formulation allows us to consider the game with control against control. We shall prove the existence of game value under natural conditions. Another main feature of the paper is that we allow for non-Markovian structure, and thus the game value is a random process. We characterize the value process as the unique viscosity solution of the corresponding path dependent Bellman-Isaacs equation, a notion recently introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang (arXiv:1109.5971) and Ekren, Touzi and Zhang.

研究动机与目标

• 解决标准强形式化设定下博弈值不存在的问题，特别是在 Isaacs 条件不成立时。
• 开发一种对称的弱形式化框架，使控制直接作用于状态过程，从而实现鞍点的自然定义。
• 将动态规划原理和粘性解理论扩展至具有扩散控制的路径依赖、非马尔可夫性随机微分博弈中。
• 将值过程表征为 Ekren 等人引入的路径依赖 Bellman-Isaacs 方程的唯一粘性解。
• 提供一个反例，表明即使在标准条件下，博弈值在强形式化下也可能不存在，从而凸显弱形式化方法的必要性。

提出的方法

• 以弱形式化方式表述博弈，其中受控状态过程通过作用于整个路径的反馈控制来定义：$ X^{W,u,v}_t = x + \int_0^t b(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) ds + \int_0^t \sigma(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) dB_s $。
• 在弱形式化中使用动态规划原理（DPP），相较于基于策略的方法更易于验证。
• 借助 Ekren、Keller、Touzi 和 Zhang 提出的路径依赖 PDE 的粘性解概念，将值过程表征为路径依赖 Bellman-Isaacs 方程的唯一粘性解。
• 通过 DPP 和比较原理，在自然条件下（如系数有界性、连续性及非退化性）建立博弈值存在的结论。
• 提供一个反例（例 8.1），表明即使在 Isaacs 条件下，强形式化中仍有 $ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $，凸显标准方法的局限性。
• 通过 BSDE 和条件期望处理扩散控制问题，调整框架以在需要时允许 $ f=0 $ 及基于条件期望的值过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有扩散控制的两人零和随机微分博弈中，博弈值在何种条件下存在？
• RQ2 是否可以采用对称的、控制对控制的表述方式，在不依赖策略型控制的前提下定义博弈值与鞍点？
• RQ3 在路径依赖、非马尔可夫性博弈的弱形式化设定下，如何建立并应用动态规划原理？
• RQ4 路径依赖 Bellman-Isaacs 方程在表征值过程中的作用是什么？它是否具有唯一的粘性解？
• RQ5 为何标准强形式化无法保证博弈值的存在，即使 Isaacs 条件成立？

主要发现

• 在自然条件下，弱形式化下博弈值存在，即使在标准强形式化下其不存在。
• 值过程被表征为路径依赖 Bellman-Isaacs 方程的唯一粘性解，将经典基于 PDE 的表征推广至非马尔可夫性设定。
• 反例（例 8.1）表明，当 $ 0 \leq \alpha < \sqrt{T/2} $ 且 $ |a| \leq T $ 时，强形式化中 $ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $，说明在标准假设下博弈值也不存在。
• 弱形式化允许对控制进行对称处理，从而实现鞍点的自然定义，尤其在漂移控制情形下表现更优。
• 对于漂移控制情形，在较弱条件下证明了鞍点的存在性；而对于扩散控制，则获得了近似鞍点。
• 即使在确定性情形（如 $ \alpha = 0 $）下，该框架依然有效，此时弱形式化仍能给出明确定义的博弈值，尽管不存在扩散项。