[论文解读] Optimal Stopping under Nonlinear Expectation

Ibrahim Ekren, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文建立了在非线性期望下最优停时问题的非线性 Snell 上确界表征，证明其为 ${\cal E}$-上鞅且在障碍首次 hitting 时间前为 ${\cal E}$-鞅。关键贡献在于提出一种新颖的极限论证方法，利用拟连续逼近克服非线性期望框架中控制收敛定理的失效，从而将经典最优停时理论推广至非支配、奇异测度的情形。

ABSTRACT

Let $X$ be a bounded càdlàg process with positive jumps defined on the canonical space of continuous paths. We consider the problem of optimal stopping the process $X$ under a nonlinear expectation operator $\cE$ defined as the supremum of expectations over a weakly compact family of nondominated measures. We introduce the corresponding nonlinear Snell envelope. Our main objective is to extend the Snell envelope characterization to the present context. Namely, we prove that the nonlinear Snell envelope is an $\cE-$supermartingale, and an $\cE-$martingale up to its first hitting time of the obstacle $X$. This result is obtained under an additional uniform continuity property of $X$. We also extend the result in the context of a random horizon optimal stopping problem. This result is crucial for the newly developed theory of viscosity solutions of path-dependent PDEs as introduced in Ekren et al., in the semilinear case, and extended to the fully nonlinear case in the accompanying papers (Ekren, Touzi, and Zhang, parts I and II).

研究动机与目标

• 将经典的 Snell 上确界表征推广至具有非支配奇异测度族的非线性期望下的最优停时问题。
• 证明非线性 Snell 上确界为 ${\cal E}$-上鞅，并在障碍首次 hit 时间前为 ${\cal E}$-鞅。
• 通过为停时序列构造拟连续逼近，克服非线性期望框架中控制收敛定理的失效。
• 通过提供全非线性情形下的路径相关 PDE 的粘性解理论的随机基础，支持其理论发展。

提出的方法

• 在弱紧族 $\mathcal{P}$ 的非支配奇异测度上定义非线性期望 ${\cal E}[\cdot] := \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$。
• 将非线性 Snell 上确界 $Y$ 定义为支配 $X_{\tau \wedge \textsc{h}}$ 的最小 ${\cal E}$-上鞅。
• 通过适配至非线性期望的动态规划原理证明其 ${\cal E}$-上鞅性质。
• 利用递减序列 $Y_{\tau_n}$ 上的极限论证，在 $[0, \tau^*]$ 上建立 ${\cal E}$-鞅性质，依赖于 Denis, Hu 和 Peng [3] 提出的拟连续函数的单调收敛定理。
• 为 $Y_{\tau_n}$ 构造拟连续逼近，从而在非线性框架中缺乏控制收敛定理的情况下仍可应用单调收敛定理。
• 利用 $\mathcal{P}$ 的弱紧性，确保期望收敛并控制迭代停时构造中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典的 Snell 上确界表征推广至具有非支配测度的非线性期望下的最优停时问题？
• RQ2 当控制收敛定理失效时，如何在 $[0, \tau^*]$ 上建立 ${\cal E}$-鞅性质？
• RQ3 拟连续逼近在非线性期望下实现收敛论证中起到何种作用？
• RQ4 过程 $X$ 的一致连续性如何在缺乏光滑性条件下促进正则值过程的构造？
• RQ5 非线性 Snell 上确界与路径相关 PDE 的粘性解理论之间存在何种联系？

主要发现

• 非线性 Snell 上确界 $Y$ 是 ${\cal E}$-上鞅，将经典结果推广至非线性期望框架。
• 非线性 Snell 上确界 $Y$ 在障碍 $X$ 的首次 hit 时间 $\tau^*$ 之前为 ${\cal E}$-鞅，确保 $\tau^*$ 的最优性。
• 通过为 $Y_{\tau_n}$ 构造拟连续逼近，克服了控制收敛定理的失效，使得单调收敛定理得以应用。
• 证明过程关键依赖于族 $\mathcal{P}$ 的弱紧性，以控制误差项并确保期望收敛。
• 该结果为全非线性路径相关 PDE 的粘性解提供了概率基础，拓展了此前在半线性情形下的工作。
• 通过受控误差项迭代构造停时 $\tau^n$，得到 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^0}[\widehat{Y}_{\tau^0}] \leq \mathbb{E}^{\mathbb{P}^m}[\widehat{Y}_{\tau^m} \mathbf{1}_{D_m} + \widehat{Y}_{\widehat{\tau}^*} \mathbf{1}_{D_m^c}] + C\bar{\rho}_0(3\delta) + 4\varepsilon$，其在极限下蕴含所需的不等式。