[论文解读] Uniform measures and convolution on topological groups

Jan Pachl|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文通过将测度视为有界一致连续函数上的泛函，确立了均匀测度在拓扑群上卷积理论中的基础作用。证明了卷积在均匀测度下是良定义且连续的，并将这些结果推广至半均匀半群，表明卷积代数的拓扑中心与群在右均匀度下的完备化一致。

ABSTRACT

Uniform measures are the functionals on the space of bounded uniformly continuous functions that are continuous on every bounded uniformly equicontinuous set. This paper describes the role of uniform measures in the study of convolution on an arbitrary topological group.

研究动机与目标

• 阐明均匀测度在拓扑群上卷积理论中的作用。
• 基于有界一致连续函数上的泛函，建立卷积的泛函分析框架。
• 从均匀测度的直积结构推导卷积的连续性与代数性质。
• 将拓扑群上的结果推广至半均匀半群。
• 利用均匀测度与紧化方法刻画卷积代数的拓扑中心。

提出的方法

• 均匀测度被定义为在有界一致连续函数空间上的泛函，且在一致等连续集合上连续。
• 通过乘积空间上的均匀度定义两个泛函的直积，从而在均匀乘积拓扑下实现类似富比尼定理的结果。
• 卷积定义为在群运算下直积的推出，使用映射 $\mathbf{M}(m_G)$。
• 使用拓扑群 $G$ 上的右均匀度定义均匀紧化 $\overline{rG}$ 和完备化 $\widehat{rG}$。
• 乘法泛函在 $\mathbf{M}_u(G)$ 中被刻画为 $\widehat{rG}$ 中的元素，即 $G$ 在右均匀度下的完备化。
• 通过一致连续作用 $\alpha$，半群 $\mathbf{M}(S)$ 在均匀空间 $Y$ 上的作用定义了广义卷积 $\mu \star \nu = \mathbf{M}(\alpha)(\mu \otimes \nu)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 均匀测度如何促进对拓扑群上卷积的分析？
• RQ2 在何种条件下，卷积的连续性可由均匀测度保证？
• RQ3 卷积结果能否超越拓扑群，推广至更一般的代数结构？
• RQ4 卷积代数的拓扑中心与群在右均匀度下的完备化之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，拓扑中心 $\Lambda(\overline{rG})$ 与完备化 $\widehat{rG}$ 重合？

主要发现

• 均匀测度正是 $\mathbf{M}_u(X)$ 中在一致等连续集合上连续的泛函，且构成 $\mathbf{M}(X)$ 的闭子空间。
• 两个均匀测度的直积是良定义的，并在均匀乘积拓扑下满足类似富比尼定理的性质。
• 对于任意拓扑群 $G$，当 $\mu, \nu \in \overline{rG}$（即 $G$ 在右均匀度下的均匀紧化）时，卷积 $\mu \star \nu$ 是良定义且连续的。
• $G$ 在右均匀度下的完备化 $\widehat{rG}$ 包含于拓扑中心 $\Lambda(\overline{rG})$ 中，且对 $\omega$-有界群，两者相等。
• 在半群 $\mathbf{M}(S)$ 上的卷积运算可自然地推广至半均匀半群，保持连续性与代数结构。
• 对于作用于均匀空间 $Y$ 的半均匀半群 $S$，广义卷积 $\mu \star \nu = \mathbf{M}(\alpha)(\mu \otimes \nu)$ 是连续的，并保持半群作用的相容性。