[论文解读] Uniformly equicontinuous sets, right multiplier topology, and continuity of convolution

Matthias Neufang, Jan Pachl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文证明，在局部紧致群中，有限Radon测度空间上的UEB拓扑与右乘子拓扑一致，为研究卷积连续性提供了统一框架。本文证明，对于所有局部紧致SIN群，卷积在有界左一致连续函数的对偶空间的有界子集上是联合UEB连续的，采用因子分解技巧与拓扑群论方法。

ABSTRACT

The dual space of the C*-algebra of bounded uniformly continuous functions on a uniform space carries several natural topologies. One of these is the topology of uniform convergence on bounded uniformly equicontinuous sets, or the UEB topology for short. In the particular case of a topological group and its right uniformity, the UEB topology plays a significant role in the continuity of convolution. In this paper we derive a useful characterisation of bounded uniformly equicontinuous sets on locally compact groups. Then we demonstrate that for every locally compact group G the UEB topology on the space of finite Radon measures on G coincides with the right multiplier topology. In this sense the UEB topology is a generalisation to arbitrary topological groups of the multiplier topology for locally compact groups. In the final section we prove results about UEB continuity of convolution.

研究动机与目标

• 刻画局部紧致群中有界一致等度连续集合的特征。
• 证明对于局部紧致群，M(G)上的UEB拓扑与右乘子拓扑一致。
• 建立局部紧致SIN群的LUC(G)*有界子集上卷积的联合UEB连续性。
• 通过因子分解定理，将卷积连续性的理解扩展至非局部紧致拓扑群。
• 提供反例，表明在缺乏有界性或SIN结构时，联合UEB连续性会失效。

提出的方法

• 使用由LUC(G)中有界一致等度连续集上一致收敛定义的UEB拓扑。
• 应用Cohen的因子分解定理及Neufang的因子分解结果，将L1(G)中的函数及其在LUC(G)*上的作用进行分解。
• 通过左平移与右平移及哈尔测度性质，刻画局部紧致SIN群中的等度-LUC集合。
• 依赖于L1(G)在LUC(G)*中是弱*-稠密的，且左卷积是弱*-连续的事实。
• 利用L1(G)的中心，记为ZL1(G)，在SIN群中构造有界逼近单位的中心函数。
• 通过将f ∈ L1(G)因式分解为g ⋆ h（其中h ∈ ZL1(G)），并利用g ⋆ mα与h ⋆ nα的范数收敛性，证明f ⋆ (mα ⋆ nα)在范数下收敛于f ⋆ (m ⋆ n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有局部紧致群，M(G)上的UEB拓扑是否与右乘子拓扑一致？
• RQ2 对于局部紧致SIN群，卷积在LUC(G)*的有界子集上是否为联合UEB连续？
• RQ3 UEB拓扑能否用于刻画非局部紧致拓扑群中卷积的连续性？
• RQ4 在何种最小的拓扑条件下，卷积在有界集上仍保持联合UEB连续？
• RQ5 是否存在反例，表明当同时移除有界性与SIN条件时，联合UEB连续性会失效？

主要发现

• 对每个局部紧致群G，M(G)上的UEB拓扑与右乘子拓扑一致。
• 对每个局部紧致SIN群G，卷积在LUC(G)*的有界子集上是联合UEB连续的。
• 在M(G)的正锥体、范数球面以及LUC(G)-弱紧集上，UEB拓扑与LUC(G)-弱拓扑一致。
• 在一般非SIN群中，联合UEB连续性通常不成立：通过[0,3]上递增同胚与右不变度量构造了一个反例。
• 在反例中，某个网yj UEB收敛于y，但m0 ⋆ yj在LUC(G)-弱拓扑下不收敛于m0 ⋆ y，表明联合连续性失效。
• SIN群中联合UEB连续性的证明依赖于将f ∈ L1(G)因式分解为g ⋆ h（其中h ∈ ZL1(G)），并利用g ⋆ mα与h ⋆ nα的范数收敛性。