[论文解读] Vertex Operators and Moduli Spaces of Sheaves

Erik Carlsson|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于向量丛的陈类在层的模空间上的新几何K-理论构造的顶点算符，该算符可直接关联至Nekrasov分划函数。通过利用该算符的对易关系，作者推导出分划函数与关联函数的模形式性质，从而能够通过模形式性质与初始值完全确定积分——尤其在典范类非零的希尔伯特概形情形下表现显著。

ABSTRACT

The Nekrasov partition function in supersymmetric quantum gauge theory is mathematically formulated as an equivariant integral over certain moduli spaces of sheaves on a complex surface. In ``Seiberg-Witten Theory and Random Partitions'', Nekrasov and Okounkov studied these integrals using the representation theory of ``vertex operators'' and the infinite wedge representation. Many of these operators arise naturally from correspondences on the moduli spaces, such as Nakajima's Heisenberg operators, and Grojnowski's vertex operators. In this paper, we build a new vertex operator out of the Chern class of a vector bundle on a pair of moduli spaces. This operator has the advantage that it connects to the partition function by definition. It also incorporates the canonical class of the surface, whereas many other studies assume that the class vanishes. When the moduli space is the Hilbert scheme, we present an explicit expression in the Nakajima operators, and the resulting combinatorial identities. We then apply the vertex operator to the above integrals. In agreeable cases, the commutation properties of the vertex operator result in modularity properties of the partition function and related correlation functions. We present examples in which the integrals are completely determined by their modularity, and their first few values.

研究动机与目标

• 通过层的模空间上向量丛的陈类构造一种新的顶点算符，提供几何与K-理论基础。
• 将Nekrasov-Okounkov方法推广至非零典范类的情形，使方法适用于任意复曲面。
• 通过等变积分，建立顶点算符与Nekrasov分划函数之间的直接联系。
• 利用新顶点算符的对易关系，推导分划函数与关联函数的模形式性质。
• 证明在合适情形下，积分可完全由其模形式性质与前几项值确定。

提出的方法

• 通过K-理论几何定义一对模空间上向量丛的陈类构造顶点算符。
• 当模空间为希尔伯特概形时，显式表达新顶点算符为Nakajima算符的形式。
• 利用顶点算符的对易性质，推导分划函数与关联函数的模形式性质。
• 将顶点算符应用于包含曲面典范类的希尔伯特概形上的等变积分。
• 利用无限楔形表示与Heisenberg代数结构分析生成函数。
• 利用向量值模形式与SL(2,Z)的表示理论，刻画分划函数的变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种几何K-理论顶点算符，使其可直接关联至Nekrasov分划函数？
• RQ2 该顶点算符的对易关系如何导致分划函数的模形式性质？
• RQ3 分划函数是否可完全由其模形式性质与前几项值确定？
• RQ4 曲面的典范类在分划函数的构造与模形式性质中起何种作用？
• RQ5 新顶点算符如何推广此前假设典范类为零的研究结果？

主要发现

• 新顶点算符通过K-理论几何构造，相较于表示论定义，提供了更一般且更基础的出发点。
• 在希尔伯特概形情形下，顶点算符可显式表示为Nakajima算符，从而导出新的组合恒等式。
• 顶点算符的对易关系诱导出分划函数与关联函数的模形式性质。
• 在合适情形下，分划函数可完全由其模形式性质与前几项值确定，如示例 $ Z_2^ u(3,q) $ 所示。
• 函数 $ Z_2^ u(3,q)/(q;q)_\nu^8 \cdot \eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 $ 被证明是 $ \Gamma_1(4) $ 上的权为5的模形式，明确匹配某一类Eisenstein级数的线性组合。
• 当 $ m $ 为奇数时，向量值函数 $ v_{k,m} $ 以对角表示变换，简化了模形式性质，并可推广至 $ \Gamma_1(4) $。