[论文解读] Vertical Vafa-Witten invariants

Pieter Ties Allerd Laarakker|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明了当 $ p_g(S) > 0 $ 时，垂直 Vafa-Witten 不变量是良定义的，其贡献由与稳定情形相同的典型积分计算得出。通过虚拟局部化与余截面技术，证明了未精化与精化不变量均源自层模空间上的积分，从而推广了 Tanaka-Thomas 与 Threfftz 的先前猜想。

ABSTRACT

We show that \emph{vertical} contributions to (possibly semistable) Tanaka-Thomas-Vafa-Witten invariants are well defined for surfaces with $p_g(S)>0$, partially proving conjectures of \cite{TT2} and \cite{T}. Moreover, we show that such contributions are computed by the same tautological integrals as in the stable case, which we studied in \cite{L}. Using the work of Kiem and Li, we show that stability of universal families of vertical Joyce-Song pairs is controlled by cosections of the obstruction sheaves of such families.

研究动机与目标

• 证明对于满足 $ p_g(S) > 0 $ 的曲面，Tanaka-Thomas-Vafa-Witten 不变量的垂直贡献是良定义的，从而确认 [TT17b] 与 [Tho18a] 的猜想。
• 证明垂直不变量的计算方式与稳定情形相同，即由相同的典型积分给出，推广了 [Laa18] 的结果。
• 通过障碍层的余截面方法，建立垂直 Joyce-Song 对的普遍族的稳定性。
• 将虚拟局部化框架扩展至垂直情形下的未精化与精化 Vafa-Witten 不变量。

提出的方法

• 通过 canonical bundle $ X = K_S $ 上的 $ bC^* $-作用实现虚拟局部化，将模空间分解为不动点分支。
• 应用 Kiem 与 Li 的余截面方法，通过分析障碍层来控制 Joyce-Song 对的普遍族的稳定性。
• 将垂直 Joyce-Song 对的模空间 $ P^lat_{1^r} $ 构造为按秩 $ r $ 的有序分拆索引的不相交并集。
• 采用 K-理论虚拟局部化公式，通过虚拟类的 $ chi_t $-不变量计算精化不变量。
• 利用 [GT19] 的结果，将垂直贡献的计算约化为曲面 $ S $ 上点的 Hilbert 模空间乘积上的积分。
• 应用虚拟 Riemann-Roch 公式，将精化不变量表达为包含 $ \operatorname{ch}(\det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}) $ 与 $ \Lambda^\bullet(N^\vee) $ 的典型积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ p_g(S) > 0 $ 的曲面，Vafa-Witten 不变量的垂直贡献是否良定义？
• RQ2 垂直不变量是否由与稳定情形相同的典型积分产生？
• RQ3 能否通过障碍层的余截面方法控制垂直 Joyce-Song 对的普遍族的稳定性？
• RQ4 垂直贡献的精化 Vafa-Witten 不变量是否可通过虚拟局部化与 K-理论方法计算？
• RQ5 所得积分是否可约化为 $ S $ 上点的 Hilbert 模空间上的已知典型积分？

主要发现

• 对于满足 $ p_g(S) > 0 $ 的曲面，垂直 Vafa-Witten 不变量是良定义的，从而确认了 [TT17b] 与 [Tho18a] 的猜想。
• 未精化垂直贡献为 $ (-1)^{\chi(\gamma(m))-1} \chi(\gamma(m)) \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert} $，其结构与完整不变量一致。
• 精化垂直贡献由模空间 $ M^n_\alpha $ 上的求和计算得出，其中 $ \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert}(t) = \sum_{\alpha,n} \chi_t\left(M^n_\alpha, \frac{\mathcal{O}^{\mathrm{vir}} \otimes \det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}}{\Lambda^\bullet(N^\vee)} \right) $。
• 被积函数可下降为 $ A^*_{\bbC^*}(S_\beta^{[n]}) $ 中的类，且虚拟类满足 $ \eta_*[M^n_\alpha]^{\mathrm{vir}} = \#\operatorname{Pic}_0(S)[r] \cdot [S_\beta^{[n]}]^{\mathrm{vir}} $。
• 在考虑扭点因子后，所得积分与 [Laa18, 式 (4.5)] 中的积分一致，从而证明其与稳定情形的一致性。
• 虚拟 Riemann-Roch 公式将精化不变量约化为包含陈特征与 Todd 类的典型积分，从而确认了该不变量的可计算性。