[论文解读] Vibration Analysis of Geometrically Nonlinear and Fractional Viscoelastic Cantilever Beams

Pegah Varghaei, Ehsan Kharazmi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 58被引用 11

一句话总结

本文采用分布阶分数阶本构模型，研究具有几何非线性的分数阶粘弹性悬臂梁的非线性振动，通过哈密顿原理推导控制方程，并利用谱分解与摄动方法求解。研究揭示了线性响应中的异常幂律衰减以及振幅对分数阶参数的超敏感性，且在主共振时出现分岔，表现为软化/硬化行为。

ABSTRACT

We investigate the nonlinear vibration of a fractional viscoelastic cantilever beam, subject to base excitation, where the viscoelasticity takes the general form of a distributed-order fractional model, and the beam curvature introduces geometric nonlinearity into the governing equation. We utilize the extended Hamilton principle to derive the governing equation of motion for specific material distribution functions that lead to fractional Kelvin-Voigt viscoelastic model. By spectral decomposition in space, the resulting governing fractional PDE reduces to nonlinear time-fractional ODEs. We use direct numerical integration in the decoupled system, in which we observe the anomalous power-law decay rate of amplitude in the linearized model. We further develop a semi-analytical scheme to solve the nonlinear equations, using method of multiple scales as a perturbation technique. We replace the expensive numerical time integration with a cubic algebraic equation to solve for frequency response of the system. We observe the super sensitivity of response amplitude to the fractional model parameters at free vibration, and bifurcation in steady-state amplitude at primary resonance.

研究动机与目标

• 建立考虑分数阶粘弹性与几何非线性的悬臂梁在基底激励下的非线性振动模型。
• 利用扩展的哈密顿原理与分布阶分数阶本构模型，推导控制偏微分方程。
• 通过空间谱分解将分数阶偏微分方程降阶为非线性时间分数阶常微分方程组。
• 开发一种基于多尺度法的半解析方法，用于计算频率响应，避免昂贵的时间积分。
• 研究分数阶模型参数对振幅响应的影响，包括软化/硬化行为及分岔特性。

提出的方法

• 利用扩展的哈密顿原理，针对具有分数阶凯尔文-沃伊特粘弹性与几何非线性的梁，建立控制方程。
• 在空间上应用谱分解，将分数阶偏微分方程降阶为非线性时间分数阶常微分方程组。
• 采用直接数值积分方法，观察线性化系统中的异常幂律衰减。
• 将多尺度法作为摄动技术，推导出用于频率响应的三次代数方程。
• 采用模态假定法，利用线性无阻尼特征值问题的特征函数，实现单模态近似。
• 通过与数值积分结果对比并分析主共振时的分岔行为，验证半解析解的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分布阶分数阶粘弹性模型如何影响悬臂梁的线性与非线性振动响应？
• RQ2 线性化系统中的振幅衰减特性为何？是否表现出异常幂律行为？
• RQ3 分数阶模型参数如何影响在几何非线性存在下的稳态振幅与频率响应？
• RQ4 系统是否表现出软化或硬化行为？在何种条件下频率响应中出现分岔？
• RQ5 基于多尺度法的半解析方法能否在不进行直接时间积分的情况下准确预测频率响应？

主要发现

• 线性化系统表现出振幅的异常幂律衰减，与分数阶动力学一致。
• 响应振幅对分数阶模型参数表现出超敏感性，尤其是在共振附近。
• 在主共振时观察到稳态振幅的分岔，表明存在复杂的非线性行为。
• 基于多尺度法的半解析方法成功地以三次代数方程替代昂贵的数值时间积分，实现频率响应预测。
• 线性无阻尼系统的第一个特征函数计算为 $ X_1(s) = 5.50054\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - 0.215842\big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $，其中 $ \beta_1^2 = 1.38569 $。
• 在无集中质量的情况下，第一个特征值为 $ \beta_1^2 = 3.51602 $，对应的归一化特征函数为 $ X_1(s) = 0.734096\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - \big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $。