[论文解读] Virtual Cartier divisors and blow-ups

Adeel A. Khan, Rydh, David|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 26

一句话总结

本文引入了虚拟Cartier除子作为有效Cartier除子的导出推广，使得即使中心不是正则浸入，也能为爆破提供普遍性质。它在导出代数几何中为拟光滑闭浸入构造了导出爆破，提供了一种新的、更简单的虚拟基本类构造方法，无需使用Behrend–Fantechi的内在法丛。

ABSTRACT

We prove a universal property for blow-ups in regularly immersed subschemes, based on a notion we call "virtual effective Cartier divisor". We also construct blow-ups of quasi-smooth closed immersions in derived algebraic geometry.

研究动机与目标

• 通过引入虚拟有效Cartier除子，将爆破的普遍性质推广至非正则浸入之外。
• 为导出概形和导出栈的拟光滑闭浸入构造导出爆破。
• 提供一种新的、简化的虚拟基本类构造方法，避免使用Behrend–Fantechi的内在法丛。
• 利用虚拟Cartier除子建立Verdier的法丛邻域变形的导出版本。
• 通过拟光滑有限无分支态射，将爆破推广至多个中心。

提出的方法

• 将虚拟有效Cartier除子定义为配备有记住其虚拟余维数1的导出结构的闭子概形，局部由单个方程截得。
• 使用Koszul复形和导出张量积来刻画导出代数几何中的正则序列和拟光滑浸入。
• 将导出爆破构造为表示给定中心上局部虚拟Cartier除子函子的导出代数空间。
• 证明导出爆破是正规且拟光滑的，并且与导出基变换交换。
• 建立普遍性质：$X$-态射到导出爆破与$(X,Z)$上的虚拟有效Cartier除子之间存在双射。
• 使用Weil限制和纤维积，将爆破推广至中心的不相交并和 étale 基变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过导出结构将爆破的普遍性质扩展至非正则中心？
• RQ2 虚拟Cartier除子能否为导出代数几何中的虚拟基本类提供一种新的、更简单的构造方法？
• RQ3 当中心为拟光滑有限无分支态射时，导出爆破的结构是什么？
• RQ4 导出爆破在基变换和纤维积下如何表现？
• RQ5 能否使用虚拟Cartier除子构造并表征多个中心的同步爆破？

主要发现

• 当$Z \to X$为拟光滑有限无分支态射时，导出爆破$\mathrm{Bl}_Z X$可由导出代数空间表示。
• 导出爆破与任意导出基变换交换，确保在拉回下兼容。
• 在$\mathrm{Bl}_Z X$上的结构局部虚拟Cartier除子同构于$\mathbf{P}_Z(\mathcal{N}_{Z/X})$与$\mathrm{Bl}_W Z$的导出纤维积，其中$W = Z \times^\mathbf{R}_X Z \setminus Z$。
• 结构态射$\pi_{Z/X}: \mathrm{Bl}_Z X \to X$既是正规的也是拟光滑的。
• 对于不相交并$Z = Z_1 \amalg Z_2$，有$\mathrm{Bl}_Z X = \mathrm{Bl}_{Z_1} X \times^\mathbf{R}_X \mathrm{Bl}_{Z_2} X$，表明其与分解兼容。
• 当$g: X \to Y$为 étale 且$Z \to X \to Y$为有限时，有$\mathrm{Bl}_Z Y = g_* \mathrm{Bl}_Z X$，将导出情形下的爆破与Weil限制联系起来。