[论文解读] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories

Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文引入了复杂性灰范畴——通过灰张量积在弱复杂性集上进行 enriched 的范畴——并构建了一个忠实嵌入其至弱复杂性集范畴的单纯化函子。关键贡献在于证明了此类范畴的单纯化结果是弱复杂性集，且通过此单纯化构造，所有小弱复杂性集的范畴本身构成了一个大型、结构丰富的弱复杂性集。

ABSTRACT

This paper continues the development of a simplicial theory of weak omega-categories, by studying categories which are enriched in weak complicial sets. These complicial Gray-categories generalise both the Kan complex enriched categories of homotopy theory and the Gray-categories of weak 3-category theory. We derive a simplicial nerve construction, which is closely related to Cordier and Porter's homotopy coherent nerve, and show that this faithfully represents complicial Gray-categories as weak complicial sets. The category of weak complicial sets may itself be canonically enriched to a complicial Gray-category whose homsets are higher generalisations of the bicategory of homomorphisms, strong transformations and modifications. By applying our nerve construction to this structure, we demonstrate that the totality of all (small) weak complicial sets and their structural morphisms at higher dimensions form a richly structured (large) weak complicial set.

研究动机与目标

• 通过引入在灰张量积下以弱复杂性集为 enriched 的复杂性灰范畴，将经典灰范畴及其高维类比推广至弱 ω-范畴的框架中。
• 将 Cordier 与 Porter 的同伦一致单纯化函子构造推广至复杂性灰范畴的设定中。
• 证明单纯化函子能忠实表示复杂性灰范畴为弱复杂性集，从而将此类范畴的范畴嵌入弱复杂性集的范畴中。
• 证明所有小弱复杂性集及其高阶态射的整体范畴可通过单纯化函子赋予一个大型、丰富的高阶范畴结构。
• 通过建立满足温和退化单体条件的弱复杂性集同伦等价于复杂性灰范畴的单纯化结果，为未来的一致性定理奠定基础。

提出的方法

• 将复杂性灰范畴定义为使用分层单纯集的灰张量积在弱复杂性集上进行 enriched 的范畴。
• 将同伦一致单纯化函子构造适配至 enriched 的设定中，推广 Cordier 与 Porter 对单纯范畴的单纯化函子。
• 通过利用先前关于复杂性纤维化结果的工作，验证内角填充与退化结构条件，证明复杂性灰范畴的单纯化结果是弱复杂性集。
• 建立复杂性灰范畴之间的局部复杂性纤维化诱导其单纯化结果上的内复杂性纤维化，确保单纯化函子保持关键的同伦结构。
• 通过内射函子与灰张量积结构，将弱复杂性集的范畴构造为一个大型复杂性灰范畴。
• 将单纯化函子应用于该大型范畴，以表明所得对象为一个弱复杂性集，编码所有小弱复杂性集及其高阶态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在弱复杂性集的框架内推广经典灰范畴及其高维类比？
• RQ2 同伦一致单纯化函子能否扩展至以灰张量积为结构的弱复杂性集上 enriched 的范畴？
• RQ3 复杂性灰范畴的单纯化结果是否为弱复杂性集？该单纯化函子是否忠实？
• RQ4 能否通过单纯化函子为所有小弱复杂性集的范畴赋予丰富的高阶范畴结构？
• RQ5 何种条件可确保一个弱复杂性集同伦等价于一个满足相同条件的复杂性灰范畴的单纯化结果？

主要发现

• 任何复杂性灰范畴的单纯化结果都是弱复杂性集，从而建立了此类范畴的范畴到弱复杂性集范畴的忠实嵌入。
• 单纯化函子保持局部复杂性纤维化：若一个函子在复杂性灰范畴之间是局部复杂性纤维化，则其单纯化结果是内复杂性纤维化。
• 小弱复杂性集的范畴可自然地赋予复杂性灰范畴结构，其态射对象由弱复杂性集范畴中的内射函子给出。
• 将单纯化函子应用于该大型复杂性灰范畴，可得到一个大型弱复杂性集，其编码了所有小弱复杂性集及其高阶态射。
• 所得大型弱复杂性集对任意有限 n 均非 n-平凡，表明其具有丰富且非退化的高阶范畴结构。
• 该构造支持最终目标：证明所有满足温和退化单体条件的弱复杂性集均同伦等价于满足相同条件的复杂性灰范畴的单纯化结果。