[论文解读] Weight Distributions of a Class of Cyclic Codes with Arbitrary Number of Zeros II

Jing Yang, Lingli Xia+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 34被引用 14

一句话总结

本文利用有限域上的高级雅可比和理论与组合恒等式，确定了一个具有任意数量零点（t ≥ 2）的可约循环码新族的重量分布。关键贡献是在 t = e−1 且 N = 2 的条件下，对重量分布进行了完整表征，扩展了以往仅限于最多三个零点码的研究成果。

ABSTRACT

Cyclic codes are an important class of linear codes, whose weight distribution have been extensively studied. So far, most of previous results obtained were for cyclic codes with no more than three zeros. Recently, \cite{Y-X-D12} constructed a class of cyclic codes with arbitrary number of zeros, and computed the weight distributions for several cases. In this paper, we determine the weight distribution for a new family of such codes. This is achieved by certain new methods, such as the theory of Jacobi sums over finite fields and subtle treatment of some complicated combinatorial identities.

研究动机与目标

• 将循环码的重量分布结果扩展至此前研究中仅限于两个或三个零点的情况之外。
• 研究具有 t ≥ 2 个零点的一般可约循环码族的重量分布，特别是当 t = e−1 且 N = 2 时的情况。
• 在这些条件下，推导出用于确定一般情况下重量分布的计算公式。
• 利用先进的数论工具，克服高零点循环码中指数和与组合恒等式带来的复杂性。
• 为此前因数学复杂性而无法解决的循环码族提供系统化的重量分布计算框架。

提出的方法

• 利用有限域上的雅可比和理论，分析与重量分布相关的指数和。
• 应用分圆理论与高斯周期，对复杂特征和进行分解与求值。
• 运用涉及索引子集与奇偶性条件的精巧组合恒等式，简化和式表达式的求值。
• 通过分析码的校验多项式结构及其零点，推导出重量分布的一般公式。
• 利用雅可比和的对称性与不变性，减少情况数量并简化计算。
• 引入并证明一个关键的组合恒等式（引理 8 和引理 9），以实现对特征及其乘积之和的求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 t = e−1 且 N = 2 的条件下，具有任意数量零点（t ≥ 2）的可约循环码族 𝒞_(a₁,…,aₜ) 的重量分布是什么？
• RQ2 雅可比和与高斯周期如何系统地应用于此类码的重量分布计算？
• RQ3 当 t = e−1 且 N = 2 时，能否推导出适用于任意具体 t 值的重量分布一般计算公式？
• RQ4 𝔽_r 中 −1 为平方数的条件在简化重量分布计算中起什么作用？
• RQ5 码的零点是否存在结构性或对称性特征，使得不同 t ≥ 2 情况下的重量分布可统一处理？

主要发现

• 在 2|a 且 e|(q^{m/2}−1) 的条件下，当 t = e−1 且 N = 2 时，循环码族 𝒞_(a₁,…,aₜ) 的重量分布被完全确定。
• 推导出在 t = e−1 ≥ 2 且 N = 2 的情况下重量分布的一般计算公式，使得对任意 t 值均可系统计算。
• 对于特殊情形 t = e−1 = 3，明确计算并表征了其重量分布。
• 证明了和式 Ω_{i₁…iᵤiᵤ₊₁} 的值与索引 i₁,…,iᵤ₊₁ 的顺序无关，从而简化了分析。
• 通过生成函数及在 √r 和 −√r 处对 (1+x)^u(1−x)^v 的求值，推导出 Ω_{0…0₁…1}（含 u 个零和 v 个一）的公式。
• 本研究扩展了文献 [37] 的工作，解决了此前未解决的多于三个零点的情形。