[论文解读] Weighted Fairness Notions for Indivisible Items Revisited

Mithun Chakraborty, Erel Segal-Halevi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 64被引用 7

一句话总结

本文引入了一类参数化的加权公平性概念——WEF(x,y) 和 WPROP(x,y)，其推广了不可分物品在不同权益分配下的公平性，允许在高权益与低权益个体之间的公平性之间进行权衡。证明了虽然每种公平性概念均可单独满足，但无法在一般情况下同时满足两种不同的公平性概念，并建立了加权最大最小份额公平性的最优近似。

ABSTRACT

We revisit the setting of fairly allocating indivisible items when agents have different weights representing their entitlements. First, we propose a parameterized family of relaxations for weighted envy-freeness and the same for weighted proportionality; the parameters indicate whether smaller-weight or larger-weight agents should be given a higher priority. We show that each notion in these families can always be satisfied, but any two cannot necessarily be fulfilled simultaneously. We then introduce an intuitive weighted generalization of maximin share fairness and establish the optimal approximation of it that can be guaranteed. Furthermore, we characterize the implication relations between the various weighted fairness notions introduced in this and prior work, and relate them to the lower and upper quota axioms from apportionment.

研究动机与目标

• 解决现有加权公平性概念（如 WEF1 和 WPROP1）的局限性，这些概念互不蕴含，且无法总同时满足。
• 提出统一的、参数化的加权公平性框架，以在不同权益的个体之间平衡公平性优先级。
• 在二元估值设定下，建立加权最大最小份额公平性（WMMS）的新推广形式的最优近似比。
• 刻画各种加权公平性概念之间的逻辑蕴含关系，并将其与配额理论中的配额公理联系起来。
• 为具有不可分物品和不均等权益的现实公平分配场景（如公共物品分配或灾难救援）提供理论基础。

提出的方法

• 提出 WEF(x,y) 和 WPROP(x,y) 作为加权公平性的松弛形式，参数化为 x 和 y（满足 x + y = 1），其中 x 控制对低权益个体的权重。
• 定义嫉妒容许值为 u_i(g)/w_i 与 u_i(g)/w_j 的加权平均，从而基于个体权重实现灵活的公平性权衡。
• 引入一种新的公平性概念——加权最大最小份额（WMMS），并证明在二元估值设定下，每个 WEG（加权平等）分配可确保每个个体 i 获得至少 ⌊q_i⌋ = ⌊w_i z_i⌋ 的价值。
• 使用配额图建模分配约束，并证明在无浪费分配中，该图不包含有向环，从而支持结构化分析。
• 应用效用转移论证，表明违反个体价值下限将导致 WEG 分配中的矛盾，从而证明该下限成立。
• 利用 d_i = a_i/z_i - w_i 的字典序最小化优化来定义和分析 WEG 分配，表明其在二元估值下可实现 APS 公平性和 OMMS 公平性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个统一的、参数化的公平性概念家族，以推广加权嫉妒自由与比例公平性，同时允许在高权益与低权益个体之间的公平性进行权衡？
• RQ2 所提出的 WEF(x,y) 与 WPROP(x,y) 概念之间存在何种逻辑蕴含关系？能否同时满足多个此类概念？
• RQ3 在不可分物品且个体具有不同权益的情况下，加权最大最小份额公平性的最佳可能近似比是多少？
• RQ4 所提出的公平性概念与配额理论中的经典配额公理（如下限与上限配额）有何关联？
• RQ5 能否证明 WEG（加权平等）分配在二元估值下可为个体提供非平凡的效用下限？

主要发现

• 所提出的 WEF(x,y) 与 WPROP(x,y) 概念家族推广了加权公平性概念，并通过参数 x 与 y 实现了对高权益与低权益个体之间公平性的灵活权衡。
• 在一般情况下，无法同时满足两个不同的 WEF(x,y) 或 WPROP(x,y) 概念，尽管每个概念均可单独满足。
• 在二元估值下，每个 WEG 分配确保每个个体 i 获得至少 ⌊w_i z_i⌋ 的价值，其中 z_i 为归一化权益，w_i 为权重。
• WEG 分配机制在二元估值下确保了 APS 公平性与 OMMS 公平性，提供了强有力的理论保证。
• 无浪费分配的配额图不包含有向环，这使得结构化分析成为可能，并支持对个体效用下限的证明。
• 本文证明了加权最大最小份额公平性的最优近似比至少为 ⌊w_i z_i⌋，且在二元估值下该界是紧的。