[论文解读] Existence and Computation of Maximin Fair Allocations Under Matroid-Rank Valuations

Siddharth Barman, Paritosh Verma|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 24被引用 12

一句话总结

该论文证明了在代理人为拟阵秩估值（matroid-rank valuations）时，最大最小公平分配（MMS）始终存在，并且可以在多项式时间内计算得出——这类子模函数刻画了收益递减的资源分配问题。作者证明了社会福利最大化的MMS分配是保证存在的，并提出了一种多项式时间算法，通过在代理之间战略性地转移物品来迭代改进分配，从而同时实现公平性与效率。

ABSTRACT

We study fair and economically efficient allocation of indivisible goods among agents whose valuations are rank functions of matroids. Such valuations constitute a well-studied class of submodular functions (i.e., they exhibit a diminishing returns property) and model preferences in several resource-allocation settings. We prove that, for matroid-rank valuations, a social welfare-maximizing allocation that gives each agent her maximin share always exists. Furthermore, such an allocation can be computed in polynomial time. We establish similar existential and algorithmic results for the pairwise maximin share guarantee as well. To complement these results, we show that if the agents have binary XOS valuations or weighted-rank valuations, then maximin fair allocations are not guaranteed to exist. Both of these valuation classes are immediate generalizations of matroid-rank functions.

研究动机与目标

• 解决关于在拟阵秩估值下最大最小公平分配是否始终存在的开放问题。
• 开发一种在多项式时间内计算MMS分配并同时最大化社会福利的算法。
• 将公平性保证扩展至同一估值类下的成对最大最小份额（PMMS）准则。
• 通过证明其在二值XOS和加权秩估值下不成立，界定MMS存在的边界。
• 在子模估值设定下，建立MMS、PMMS与社会福利最大化的联系。

提出的方法

• 该算法从一个社会福利最大化的分配开始，通过在代理之间转移物品来迭代改进，以满足PMMS条件。
• 利用拟阵增广性质，识别出代理j的物品集合中可转移至代理i集合中而不降低社会福利的物品。
• 该转移过程严格减少平方估值之和∑v_k(A_k)²，确保最多在m²步内收敛。
• 证明依赖于如下事实：若v_i(A_i) < μ_i(2, A_i ∪ A_j)，则|A_j| ≥ |A_i| + 2，从而可实现有效转移。
• 该算法在整个过程中保持社会福利最大化，并最终终止于一个PMMS分配。
• 由于改进步骤的有限收敛性和正确性，此类分配的存在性得以保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理具有拟阵秩估值时，最大最小公平分配是否始终存在？
• RQ2 在拟阵秩估值下，能否在多项式时间内计算出社会福利最大化的MMS分配？
• RQ3 在此设定下，成对最大最小份额（PMMS）保证是否同样存在且可高效计算？
• RQ4 是否存在比拟阵秩函数更一般的估值类，使得MMS分配不再保证存在？
• RQ5 在子模估值设定下，MMS、PMMS与社会福利最大化的相互关系是什么？

主要发现

• 对于所有具有拟阵秩估值的实例，最大最小公平分配（MMS）始终存在。
• 可通过一种局部改进算法在多项式时间内计算出社会福利最大化的MMS分配。
• 同一算法还能同时计算出社会福利最大化的成对最大最小份额（PMMS）分配。
• 由于平方估值之和严格递减，该算法最多在m²轮迭代内收敛，其中m为物品数量。
• 在二值XOS或加权秩估值下，MMS分配一般不存在，尽管这些是拟阵秩函数的推广。
• 任何社会福利最大且满足PMMS的分配，都是一个1/(2n)-近似MMS分配，从而确立了公平性与效率之间的量化权衡。