[论文解读] Weighted Hardy spaces associated to operators and boundedness of singular integrals

The Anh Bui, Xuan Thinh Duong|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用 16

一句话总结

本文针对齐次度量空间上非负自伴算子 $L$，在较弱的Davies-Gaffney估计下而非高斯热核界下，引入并刻画了加权Hardy空间 $H^p_{L,w}(X)$（$0 < p \leq 1$）。研究建立了原子与分子分解，并证明了广义Riesz变换与谱乘子在这些空间上的有界性，将先前结果推广至更广泛的几何与分析设定，且适用于Muckenhoupt权重。

ABSTRACT

Let $(X, d, μ)$ be a space of homogeneous type, i.e. the measure $μ$ satisfies doubling (volume) property with respect to the balls defined by the metric $d$. Let $L$ be a non-negative self-adjoint operator on $L^2(X)$. Assume that the semigroup of $L$ satisfies the Davies-Gaffney estimates. In this paper, we study the weighted Hardy spaces $H^p_{L,w}(X)$, $0 &lt; p \le 1$, associated to the operator $L$ on the space $X$. We establish the atomic and the molecular characterizations of elements in $H^p_{L,w}(X)$. As applications, we obtain the boundedness on $\HL$ for the generalized Riesz transforms associated to $L$ and for the spectral multipliers of $L$.

研究动机与目标

• 将加权Hardy空间 $H^p_{L,w}(X)$ 的理论扩展至齐次度量空间上 $0 < p \leq 1$ 的完整范围。
• 用较弱的Davies-Gaffney估计替代先前工作中强高斯热核界假设。
• 发展新的加权 tent 空间理论，以支持在加权设定下的原子与分子分解。
• 证明奇异积分算子（特别是Riesz变换与谱乘子）在 $H^p_{L,w}(X)$ 上的有界性。
• 将欧氏空间中的结果推广至具有加倍测度与 $A_1$ 权的度量测度空间。

提出的方法

• 通过涉及半群 $e^{-tL}$ 与加权 tent 空间的面积积分范数来定义 $H^p_{L,w}(X)$。
• 引入与算子 $L$ 及权 $w$ 相适应的新加权 tent 空间，这对原子分解至关重要。
• 利用波动方程的有限传播速度与谱理论分析算子 $F(\sqrt{L})$。
• 通过 dyadic 分解与核估计构造 $(M,p,w,\epsilon)$-分子，建立原子分解。
• 应用 Minkowski 不等式与加权范数估计，控制在环形区域 $S_k(B)$ 上的 $L^2$-范数。
• 借助引理 4.11（关于 $F(2^j\sqrt{L})g$ 在 $L^2$ 上的衰减）控制在 $W^2_s$-正则性条件下的谱乘子范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在齐次度量空间上为 $0 < p \leq 1$ 定义并刻画加权Hardy空间 $H^p_{L,w}(X)$？
• RQ2 在Davies-Gaffney估计而非高斯热核界下，$H^p_{L,w}(X)$ 的原子与分子分解是否仍成立？
• RQ3 与磁 Schrödinger 算子相关的广义Riesz变换在 $H^p_{L,w}(X)$ 上是否为有界算子？
• RQ4 当 $F$ 不光滑时，谱乘子 $F(L)$ 在什么条件下在 $H^p_{L,w}(X)$ 上有界？
• RQ5 $A_1$ 与反Hölder权在此设定下如何与算子理论相互作用？

主要发现

• 本文建立了 $H^p_{L,w}(X)$ 的原子分解，其中原子满足 $L^2$-大小与取消条件，且与算子 $L$ 和权 $w$ 相适应。
• 在适当假设下，证明了广义Riesz变换 $\nabla L^{-1/2}$ 从 $H^p_{L,w}(X)$ 有界映射到经典加权Hardy空间 $H^p_w(X)$。
• 若函数 $F$ 满足 $\sup_{t>0}\|\eta(\cdot)F(t\cdot)\|_{W^2_s} \leq C_\eta$，其中 $s > \frac{n(2-p)}{2p} + \frac{1}{2}$ 且 $\eta \in C_c^\infty(\frac{1}{2},2)$，则谱乘子 $F(L)$ 在 $H^p_{L,w}(X)$ 上有界。
• 通过在环形区域上的 $L^2$-范数衰减估计证明了 $F(L)$ 的有界性，依赖于引理 4.11 中 $\beta > 0$ 与 $\gamma > 1/2$ 的条件。
• 证明显示：$r_B^{2l} \sum_{j \geq j_0} \|F_j(\sqrt{L})b_1\|_{L^2(S_k(B))} \leq C 2^{-k\epsilon} r_B^{2M} V(2^k B)^{1/2} w(2^k B)^{-1/p}$，其中 $\epsilon = s' - \frac{n(2-p)}{2p}$。
• 在 $w \in A_1 \cap RH_{\frac{2}{2-p}}$ 的假设下，结果成立，该条件确保了加权估计所需的足够正则性。