[论文解读] Weil Spaces and Weil-Lie Groups

Wolfgang Bertram|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了任意交换基环上的Weil空间与Weil-李群，将无穷小微分几何推广至拓扑域之外。它将Weil空间定义为从Weil代数到集合的函子，通过无穷小自同构为Weil-李群建立李代数结构，并证明Weil-李群的李代数同构于带有标准李括号的向量场空间，将经典李理论扩展至离散与奇异情形。

ABSTRACT

We define Weil spaces, Weil manifolds, Weil varieties and Weil Lie groups over an arbitrary commutative base ring K (in particular, over discrete rings such as the integers), and we develop the basic theory of such spaces, leading up the definition of a Lie algebra attached to a Weil Lie group. By definition, the category of Weil spaces is the category of functors from K-Weil algebras to sets; thus our notion of Weil space is similar to, but weaker than the one of Weil topos defined by E. Dubuc (1979). In view of recent result on Weil functors for manifolds over general topological base fields or rings by A. Souvay, this generality is the suitable context to formulate and to prove general results of infinitesimal differential geometry, as started by the approach developed in Bertram, Mem. AMS 900.

研究动机与目标

• 开发一个在任意交换基环（包括离散环如 ℤ）上进行无穷小微分几何的一般框架。
• 克服传统拓扑方法在离散环与奇异空间中失效的局限性。
• 将Weil空间定义为从Weil代数到集合的函子，推广流形与切丛的概念。
• 通过无穷小自同构与自然变换构造Weil-李群的李代数。
• 证明Weil-李群的李代数同构于带有标准李括号的向量场空间。

提出的方法

• Weil空间被定义为从 𝕂-Weil代数范畴到集合范畴的函子，其中每个Weil代数 𝔸 分配一个集合 M^𝔸，其作用如同 𝔸-切丛。
• Weil法则为这类函子之间的自然变换，编码随 𝔸 变化的 𝔸-切映射 f^𝔸: M^𝔸 → N^𝔸。
• 该构造使用Weil代数作为无穷小数环，其中 𝔸 = 𝕂 ⊕ 𝔪，𝔪 为幂零理想，推广了对偶数与高阶无穷小量。
• Weil-李群的李代数被实现为自同构函子在单位元处的纤维，与向量场空间相等同。
• 通过群交换子公式恢复李括号：[ε₁X, ε₂Y]_group = ε₁ε₂[X,Y]_alg，将群论括号与代数括号联系起来。
• 该理论被证明是笛卡尔闭的，支持内部同态对象，支持微分几何的综合方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李理论推广至如 ℤ 这类离散环上的空间，其中传统拓扑方法失效？
• RQ2 描述微分几何中高阶无穷小结构的正确范畴与代数框架是什么？
• RQ3 能否仅从点函子与无穷小自同构重构李群的李代数？
• RQ4 Weil代数如何作为光滑映射的广义标量扩张？Weil函子在此情境中的作用是什么？
• RQ5 Weil簇上的导子与该簇自同构群的李代数之间关系为何？

主要发现

• Weil空间的范畴是笛卡尔闭的，支持内部同态对象，支持微分几何的综合方法。
• Weil-李群的李代数同构于底空间上的向量场空间，标准李括号由公式 [X,Y](x) = dX(x)Y(x) - dY(x)X(x) 给出。
• Weil-李群的李代数括号由群交换子公式 [ε₁X, ε₂Y]_group = ε₁ε₂[X,Y]_alg 生成。
• 具有乘法 s 的Weil簇上的导子恰好是满足 X(p·q) = X(p)·q + p·X(q) 的向量场，构成向量场的李子代数。
• 具有乘法的Weil簇的自同构群本身也是一个Weil簇，其李代数是乘法的导子空间。
• 对于带有基点的对称空间，李三重系统自然实现为对称的 −1-特征空间，当 2 可逆时，李代数继承 ℤ/2ℤ-分次结构。