[论文解读] Witten's top Chern class via cosection localization

Huai-Liang Chang, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过余截面局部化技术，对所有窄扇区的 Landau-Ginzburg 空间构造了 Witten 的上 Chern 类，提供了 Witten 原始解析方法的代数类比。该构造被证明与 Polishchuk-Vaintrob、Chiodo 及 Fan-Jarvis-Ruan 的先前构造等价，验证了所有预期公理，并在自由情形下给出了显式公式。

ABSTRACT

For a Landau Ginzburg space ([C^n/G],W), we construct the Witten's top Chern classes as algebraic cycles via cosection localized virtual cycles in case all sectors are narrow. We verify all axioms of such classes. We derive an explicit formula of such classes in the free case. We prove that this construction is equivalent to the prior constructions of Polishchuk-Vaintrob, of Chiodo and of Fan-Jarvis-Ruan.

研究动机与目标

• 通过余截面局部化，为所有窄扇区的 Landau-Ginzburg 空间提供 Witten 上 Chern 类的代数几何构造。
• 验证所构造的类满足 Witten 上 Chern 类的所有预期公理。
• 建立新代数构造与 Polishchuk-Vaintrob、Chiodo 及 Fan-Jarvis-Ruan 之前解析构造之间的等价性。
• 在自由情形下推导该类的显式公式。
• 将余截面局部化技术推广至带有场的 G-自旋曲线模空间，确保其正规性并兼容障碍理论。

提出的方法

• 构造带有场的 G-自旋曲线模栈 ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}$，其在 ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ 上具有完美障碍理论。
• 利用 G-不变多项式 $W$ 和 $γ$ 的窄条件，定义 ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}$ 的障碍层上的余截面 $\sigma$。
• 证明 $\sigma$ 的非满射局部包含于遗忘态射 ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p} \to {\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ 的零截面中，而该截面是正规的。
• 应用 Kiem 与 Li 的余截面局部化技术，在 ${\overline{M}}_{g,\gamma}(G)$ 的 Chow 群中定义虚拟类 $[{\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}]^{\mathrm{vir}}$。
• 通过形变理论与局部化 Chern 特征，比较余截面局部化类与经典虚拟类，依赖于环境向量丛的分裂性及 Koszul 复形。
• 通过分析 $\zeta$ 的零点与法丛的上下文中的局部化 Chern 特征与 Gysin 映射，建立与先前构造的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过余截面局部化在代数上构造窄 Landau-Ginzburg 空间的 Witten 上 Chern 类？
• RQ2 所得类是否满足 Witten 上 Chern 类的所有标准公理？
• RQ3 余截面局部化构造是否与 Polishchuk-Vaintrob、Chiodo 及 Fan-Jarvis-Ruan 的解析构造等价？
• RQ4 在自由情形下，该类的显式公式是什么？
• RQ5 余截面局部化技术如何与带有场的 G-自旋曲线模空间相互作用？

主要发现

• 余截面局部化虚拟类 $[{\overline{M}}_{g,\gamma}(G)^{p}]^{\mathrm{vir}}$ 在 $A_*({\overline{M}}_{g,\gamma}(G))$ 中定义了一个行为良好的代数周期，满足 Witten 上 Chern 类的所有预期公理。
• 该构造与 Polishchuk-Vaintrob、Chiodo 及 Fan-Jarvis-Ruan 的先前解析构造等价，其中与后者的等价性为新结果。
• 在自由情形下推导出 Witten 上 Chern 类的显式公式，提供了以典型类表示的可计算表达式。
• 余截面 $\sigma$ 的非满射局部包含于零截面中，确保了局部化虚拟周期的正规性，从而支持余截面局部化技术的应用。
• 局部化 Chern 特征计算确认了 $c_{\text{top}}(V,\zeta,\eta) = [X]_{\sigma,\text{loc}}^{\mathrm{vir}}$，确立了该构造与虚拟周期理论的一致性。
• 证明依赖于向量丛 $V = K \oplus \mathcal{O}_Y(-Z)$ 的分裂性，以及 $\zeta$ 与 $\eta$ 对该分解的相容性，从而可使用 Koszul 复形与 Gysin 映射。