[论文解读] Grothendieck Duality for Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 39

一句话总结

本文針對具有仿射對角線的代數堆疊分離態射建立了格羅滕迪克對偶性，專注於緊緻的Deligne-Mumford堆疊。證明了代數閉域上光滑、擬緊堆疊的Serre對偶性，並明確計算了純種nodal曲線的對偶複形，顯示其為模空間對偶層的拉回加上透過根構造所產生的橢圓點貢獻。

ABSTRACT

We prove the existence of the dualizing functor for a separated morphism of algebraic stacks with affine diagonal; then we explicitly develop duality for compact Deligne-Mumford stacks focusing in particular on the morphism from a stack to its coarse moduli space and on representable morphisms. We explicitly compute the dualizing complex for a smooth stack over an algebraically closed field and prove that Serre duality holds for smooth compact Deligne-Mumford stacks in its usual form. We prove also that a proper Cohen-Macaulay stack has a dualizing sheaf and it is an invertible sheaf when it is Gorenstein. As an application of this general machinery we compute the dualizing sheaf of a tame nodal curve.

研究动机与目标

• 使用Neeman的抽象對偶性機制，為具有仿射對角線的代數堆疊分離態射建立對偶函子的存在性。
• 發展緊緻Deligne-Mumford堆疊的顯式對偶理論，特別是針對至其粗模空間的態射與可表示態射。
• 計算代數閉域上光滑堆疊的對偶複形，並證明Serre對偶性以經典形式成立。
• 確定純種nodal曲線與局部完整交集的對偶層，顯示其與切換複形的方案理論期望相符。
• 將一般機制應用於計算純種nodal曲線的對偶層，包括透過根構造所產生的橢圓點貢獻。

提出的方法

• 使用Neeman的方法，在具有仿射對角線的堆疊的擬 coherent sheaf 之導出範疇中證明對偶函子的存在性。
• 在複形範疇中應用可表示性定理，以構造導出推前的右伴隨，進而於 $D^+(\text{QCoh}(\text{Stack}))$ 中實現對偶性。
• 證明對偶性與平坦基變換的相容性，建立 étale-局部行為，並恢復Verdier對Deligne-Mumford堆疊的結果。
• 使用 canonical bundle $\text{K}_{\text{X}}$ 與 $\text{Ext}^{\bullet}_{\text{Y}}(\text{O}_{\text{X}}, \text{K}_{\text{Y}})$ 構造，計算光滑擬緊堆疊中閉子堆疊的對偶複形。
• 使用根構造與全球商表示，計算純種nodal曲線的對偶層，特別是在加權射影堆疊中的情形。
• 將一般對偶性機制應用於顯示：對於局部完整交集堆疊，其對偶複形為切換複形的行列式，再依維數平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 格羅滕迪克對偶性是否可延伸至Deligne-Mumford堆疊，特別是在缺乏 $\text{π}$-非常 ample bundle 的情況下？
• RQ2 能否使用抽象對偶性理論，為代數閉域上光滑、擬緊的Deligne-Mumford堆疊建立Serre對偶性？
• RQ3 純種nodal曲線的對偶層之顯式形式為何？橢圓點如何影響其結構？
• RQ4 對Deligne-Mumford堆疊而言，對偶複形在平坦基變換下之行為如何？
• RQ5 局部完整交集的Deligne-Mumford堆疊的對偶層是否由切換複形的行列式平移維數所給出？

主要发现

• 在代數閉域上，光滑、擬緊的Deligne-Mumford堆疊的對偶複形，與其canonical bundle 平移堆疊維數同構。
• 對於光滑擬緊堆疊 $\text{Y}$ 中的閉嵌入 $i: \text{X} \to \text{Y}$，$\text{X}$ 的對偶複形為 $\mathcal{E}\!\mathpzc{xt}^{\bullet}_{\text{Y}}(\mathcal{O}_{\text{X}}, \omega_{\text{Y}})$，若 $\text{X}$ 為Cohen-Macaulay，則此為一個凝聚層。
• 若一擬緊Cohen-Macaulay堆疊為Gorenstein，則其對偶層為一個可逆層。
• 對於純種nodal曲線 $\text{C}$，其對偶層為 $\text{O}_{\text{C}}(-a)$，其中 $a$ 為節點處穩定子群的階，此結果與模空間對偶層的拉回一致，並包含來自橢圓點的修正。
• 局部完整交集的Deligne-Mumford堆疊的對偶層同構於 $\det(\Omega_{\text{X}}^1)[\dim \text{X}]$，與方案理論情形一致。
• 在 $\mathbb{P}(1,1,3)$ 中以平衡不可約節點緊化之曲線 $\mathcal{C}$ 的對偶層為 $\mathcal{O}_{\mathcal{C}}(-3)$，與定理3.8及定理3.1一致。