[论文解读] Zhu's algebra, C_2-algebra and C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras

Tomoyuki Arakawa, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文通过首先分析 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ 时的 Zhu 代数和 $C_2$-代数，证明其为半单代数且维数为 $k(k+1)/2$，然后利用这些结果通过子代数分解和已知的 $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的余有限性，将余有限性结果推广至一般 $\mathfrak{g}$，从而建立了任意有限维单李代数 $\mathfrak{g}$ 和正整数水平 $k$ 下的 parafermion 顶点算子代数 $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性。

ABSTRACT

We determine Zhu's algebra and C_2-algebra of parafermion vertex operator algebras for sl_2. Moreover, we prove the C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras for any finite dimensional simple Lie algebras.

研究动机与目标

• 分析与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 在水平 $k$ 相关的 parafermion VOA 的 Zhu 代数和 $C_2$-代数。
• 建立 parafermion VOA $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的 Zhu 代数 $A(\mathcal{W})$ 的半单性及其维数为 $k(k+1)/2$。
• 对 $\mathcal{W}$ 的不可约模进行分类，并证明其作为自身模的投射性。
• 将 $\mathfrak{sl}_2$ 情况下的 $C_2$-余有限性结果推广至所有有限维单李代数 $\mathfrak{g}$。

提出的方法

• 利用强生成元 $W^2, W^3, W^4, W^5$ 及其对易关系，分析真空模 $V(k,0)$ 中 parafermion VOA $\mathcal{N}$ 的结构。
• 识别并分析 $\mathcal{N}$ 中的权为 8 的零场 $\mathbf{v}^0$ 和权为 $k+1$ 的奇异向量 $\mathbf{u}^0$，以确定 $C_2$-代数中的关系。
• 使用算子 $W^3_1$ 在 $C_2$-代数 $R_{\mathcal{N}}$ 上诱导一个导子，从而显式计算 $\mathbf{v}^0$ 和 $\mathbf{u}^0$ 在 $R_{V(k,0)}$ 中的像。
• 通过逐权分析关系，建立嵌入 $R_{\mathcal{N}} \hookrightarrow R_{V(k,0)}$ 和 $A(\mathcal{W}) \hookrightarrow A(L(k,0))$。
• 利用 $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的 $C_2$-余有限性以及其子代数分解为 $P_\alpha \cong K(\mathfrak{sl}_2,k_\alpha)$ 的事实，证明一般 $\mathfrak{g}$ 情况下的 $C_2$-余有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 parafermion VOA $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的 Zhu 代数和 $C_2$-代数的结构是什么？
• RQ2 对于 $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$，Zhu 代数 $A(\mathcal{W})$ 是否为半单代数且维数为 $k(k+1)/2$？
• RQ3 $M^{i,j}$（其中 $0 \leq i \leq k$，$0 \leq j \leq i-1$）是否构成 $\mathcal{W}$-模的全部不可约模的同构类？
• RQ4 parafermion VOA $K(\mathfrak{g},k)$ 是否对所有有限维单李代数 $\mathfrak{g}$ 和正整数 $k$ 都是 $C_2$-余有限的？

主要发现

• parafermion VOA $\mathcal{W} = K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的 $C_2$-代数 $R_{\mathcal{W}}$ 的维数为 $k(k+1)/2$。
• Zhu 代数 $A(\mathcal{W})$ 为半单代数，且维数同样为 $k(k+1)/2$。
• 对于 $0 \leq i \leq k$，$0 \leq j \leq i-1$，模 $M^{i,j}$ 构成 $\mathcal{W}$-模的全部不可约模的同构类。
• parafermion VOA $K(\mathfrak{g},k)$ 对任意有限维单李代数 $\mathfrak{g}$ 和任意正整数 $k$ 都是 $C_2$-余有限的。
• 通过分析 $W^3_1$ 对零场 $\mathbf{v}^0$ 和奇异向量 $\mathbf{u}^0$ 的像，建立了嵌入 $R_{\mathcal{N}} \hookrightarrow R_{V(k,0)}$。
• $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性由 $K(\mathfrak{sl}_2,k)$ 的 $C_2$-余有限性以及其子代数分解 $P_\alpha \cong K(\mathfrak{sl}_2,k_\alpha)$ 推出。