[论文解读] (1,0,0)-colorability of planar graphs without cycles of length 4 or 6

Ligang Jin, Yingli Kang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文证明了不含4-圈或6-圈的平面图是(1,0,0)-可染色的，即其顶点可被划分为三个集合，其中一集合诱导出最大度至多为1的子图，其余两个集合诱导出最大度为0的子图。该结果通过使用可约配置与电荷重分配规则的放电法，改进了先前关于(2,0,0)-和(1,1,0)-可染色性的结果，解决了无短圈的平面图非正常染色研究中的一个关键情形。

ABSTRACT

A graph $G$ is $(d_1,d_2,d_3)$-colorable if the vertex set $V(G)$ can be partitioned into three subsets $V_1,V_2$ and $V_3$ such that for $i\in\{1,2,3\}$, the induced graph $G[V_i]$ has maximum vertex-degree at most $d_i$. So, $(0,0,0)$-colorability is exactly 3-colorability. The well-known Steinberg's conjecture states that every planar graph without cycles of length 4 or 5 is 3-colorable. As this conjecture being disproved by Cohen-Addad etc. in 2017, a similar question, whether every planar graph without cycles of length 4 or $i$ is 3-colorable for a given $i\in \{6,\ldots,9\}$, is gaining more and more interest. In this paper, we consider this question for the case $i=6$ from the viewpoint of improper colorings. More precisely, we prove that every planar graph without cycles of length 4 or 6 is (1,0,0)-colorable, which improves on earlier results that they are (2,0,0)-colorable and also (1,1,0)-colorable, and on the result that planar graphs without cycles of length from 4 to 6 are (1,0,0)-colorable.

研究动机与目标

• 为解决不含长度为4或6的圈的平面图是否为(1,0,0)-可染色的问题，超越已知的(2,0,0)-和(1,1,0)-可染色性结果。
• 扩展对平面图中非正常染色的理解，特别是在Steinberg型猜想及其松弛形式的背景下。
• 建立强于先前工作的结果，证明不含长度为4至6的圈的平面图具有(1,0,0)-可染色性。
• 应用放电法，结合精心设计的电荷重分配规则，通过可约配置的结构分析证明主定理。

提出的方法

• 证明使用放电法，根据度数为顶点和面分配初始电荷，然后通过预定义规则重新分配电荷，以证明最终电荷非负。
• 关键规则包括：从8-圈或更高圈向相邻的2-顶点转移电荷1（R11），以及根据面类型和相邻顶点度数，将电荷从顶点分配给面。
• 证明了特定配置的可约性，例如含内部2-顶点的面或特定环结构的面，以排除潜在反例。
• 使用结构引理（如引理3.1、3.7、3.19、3.20）来约束面和顶点的局部结构，特别是关于2-顶点和重邻点的性质。
• 放电规则针对不同类型的面（3-圈、5-圈和8-圈及以上）以及不同度数的顶点进行设计，特别处理了弱/强面和反轮结构。
• 提出了并证明了一个超扩展定理，通过引入图的附加结构约束，强化了主定理结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个不含长度为4或6的圈的平面图是否都是(1,0,0)-可染色的？
• RQ2 能否为不含4-圈和6-圈的平面图建立(1,0,0)-可染色性结果，从而改进先前关于(2,0,0)-和(1,1,0)-可染色性的结果？
• RQ3 不含4-圈或6-圈的平面图的哪些结构特性使其能够实现更强的非正常染色结果？
• RQ4 在这些图中是否存在可用于通过放电法证明(1,0,0)-可染色性的可约配置？

主要发现

• 每个不含长度为4或6的圈的平面图都是(1,0,0)-可染色的，该结果强于先前已知的(2,0,0)-和(1,1,0)-可染色性结果。
• 证明表明8-圈或更高圈向每个相邻的2-顶点发送电荷1，确保此类面的最终电荷非负。
• 对于5-圈，最终电荷至少为0，通过从5-或更高度顶点接收至少8/3电荷，或从多个4-或更高度顶点接收足够电荷实现。
• 所有3-圈的最终电荷恰好为0，通过从相邻的3-顶点、4-顶点以及重外邻点接收电荷实现，具体取决于面的类型和强度。
• 放电过程确认没有任何面或顶点具有负电荷，从而验证了可约性与结构假设的正确性。
• 该结果改进了先前关于不含长度为4至6的圈的平面图具有(1,0,0)-可染色性的研究，现扩展至仅排除4-圈和6-圈的情形。