[论文解读] (3+1)D Anomalous Twisted Gauge Theories with Global Symmetry

Peng Ye|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 3

一句话总结

本文表明，在具有离散阿贝尔规范群 $G_g$ 的 (3+1)D 扭曲规范理论中，将全局对称性 $G_s$ 耦合到拓扑电流 $\star\frac{1}{2\pi}db^I$ 会引发异常：对称性丰富化的拓扑序（SET）是异常的，无法在 (3+1)D 中独立实现，必须借助 (4+1)D 体相才能在规范化 $G_s$ 时抵消规范异常。该异常通过一个具体例子诊断，表明 $G_s$-规范化会产生需要 (4+1)D 拓扑相来抵消的规范异常。

ABSTRACT

In (3+1)D twisted gauge theories, global symmetry may be imposed on topological currents $\star\frac{1}{2\pi}db^I$ in a hydrodynamical way ($I=1,2,\cdots$, $\{b^I\}$ is a set of Kalb-Ramond gauge fields). This methodology has been applied before in the Chern-Simons theory of fractional quantum Hall liquids. We find that, in some twisted gauge theories (with discrete Abelian gauge group $G_g$), implementing a global symmetry (denoted by $G_s$) is always inconsistent. There are two consequences. First, the symmetry-enriched topological order (SET) of the ground state is anomalous, which cannot exist in (3+1)D system alone. It can exist as a boundary of 4+1D topological phases. Second, if $G_s$ is fully gauged, the resulting new gauge theory has gauge anomaly. A (4+1)D topological phase is required to cancel this anomaly. We elaborate this phenomenon via a concrete example.

研究动机与目标

• 研究具有离散阿贝尔规范群的 (3+1)D 扭曲规范理论中全局对称性的相容性。
• 确定全局对称性是否可以与这些理论中的拓扑电流 $\star\frac{1}{2\pi}db^I$ 一致耦合。
• 识别对称性丰富化导致异常的条件，这些异常无法在 (3+1)D 中独立实现。
• 证明规范化全局对称性会导致需要 (4+1)D 拓扑相来抵消的规范异常。

提出的方法

• 作者分析了具有 Kalb-Ramond 场 $\{b^I\}$ 和离散阿贝尔规范群 $G_g$ 的 (3+1)D 扭曲规范理论，重点关注拓扑电流 $\star\frac{1}{2\pi}db^I$。
• 他们以流体动力学方式在这些电流上施加全局对称性 $G_s$，将其视为与背景规范场耦合的守恒电流。
• 利用异常流入的框架，他们表明由此产生的对称性丰富化拓扑序（SET）是异常的，无法作为独立的 (3+1)D 相存在。
• 他们证明规范化 $G_s$ 会导致规范异常，该异常仅能通过耦合到 (4+1)D 拓扑相来抵消。
• 构建了一个具体例子以说明异常机制，明确展示了场内容和作用量结构。
• 该分析依赖于规范场、全局对称性和拓扑不变量之间的相互作用，通过特征类的下降过程进行异常诊断。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有离散阿贝尔规范群 $G_g$ 的 (3+1)D 扭曲规范理论中一致实现全局对称性 $G_s$？
• RQ2 当 $G_s$ 与拓扑电流 $\star\frac{1}{2\pi}db^I$ 耦合时，在何种条件下会导致异常的对称性丰富化拓扑序（SET）？
• RQ3 为何 SET 相无法在 (3+1)D 中独立实现，(4+1)D 体相在抵消异常中起到什么作用？
• RQ4 当全局对称性 $G_s$ 被规范化时会发生什么，由此产生的规范异常与高维拓扑相之间有何关系？
• RQ5 如何构建一个具体例子以在此框架中实现并诊断该异常？

主要发现

• 通过将 $G_s$ 耦合到拓扑电流 $\star\frac{1}{2\pi}db^I$ 所产生的对称性丰富化拓扑序（SET）是异常的，无法作为独立的 (3+1)D 系统存在。
• 异常的产生是因为全局对称性 $G_s$ 无法在不引入 (3+1)D 中的规范异常的情况下被一致规范化。
• 在规范化 $G_s$ 后，所得的规范理论表现出需要 (4+1)D 拓扑相来抵消的规范异常。
• (4+1)D 拓扑相是通过异常流入机制抵消异常所必需的，从而确保规范化理论的一致性。
• 构建了一个具体例子，明确诊断了异常，表明高维体相的必要性。
• 该机制根植于电流的拓扑性质，以及在缺乏高维异常抵消体相时全局对称性实现的失败。