[论文解读] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $ heta =\pi$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用 19

一句话总结

该论文通过在RP⁴上计算路径振幅，建立了在非可定向流形上，具有θ = π的u(1)规范理论与通过T或CT对称性实现的时间反演对称性之间的S对偶性。通过证明两种理论的路径振幅完全相同，验证了该对偶性，支持了如下猜想：在θ = π时，规范化的拓扑绝缘体（AII类）与规范化的拓扑超导体（AIII类）是S对偶的。

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $ heta$-term with $ heta = \pi$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

研究动机与目标

• 研究S对偶性与u(1)规范理论在θ = π时的时间反演对称性之间的相容性。
• 检验如下猜想：两种不同的费米子理论（分别通过T和CT时间反演对称性实现）彼此之间是S对偶的。
• 利用体对偶性推导出拓扑绝缘体与超导体的非平凡对称能隙表面态。
• 阐明拓扑项与旋量结构在非可定向流形上费米子S对偶性中的作用。

提出的方法

• 在非可定向流形RP⁴上，计算具有狄拉克费米子和θ = π的两个u(1)规范理论的路径振幅。
• 使用费米子行列式与雷德迈斯特扭量来计算路径振幅，以区分T与CT时间反演实现方式。
• 在S对偶下比较路径振幅，发现在RP⁴上两种理论的路径振幅相等。
• 依赖于在非可定向流形上，积分出费米子后得到的拓扑项在T与CT情况下不同，但完整路径振幅仍保持S对偶不变。
• 将该对偶性应用于通过体对偶性分类拓扑绝缘体（AII类）与超导体（AIII类）的表面态。
• 使用 bordism 分类与解析扭量，将路径振幅的不变性与拓扑不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过T和CT时间反演对称性实现的两个具有θ = π的u(1)规范理论是否彼此为S对偶？
• RQ2 在非可定向流形上，S对偶性如何体现，尤其是在T与CT情况下拓扑项不同的情形下？
• RQ3 尽管拓扑项不同，是否仍能通过在RP⁴上路径振幅相等来确立该对偶性？
• RQ4 在非可定向流形上的费米子S对偶性中，旋量结构与线丛起什么作用？
• RQ5 该对偶性对拓扑绝缘体与超导体中对称能隙表面态的存在性有何影响？

主要发现

• 在RP⁴上，具有T与CT时间反演对称性的两种理论的路径振幅相等，为S对偶性提供了强有力证据。
• 在非可定向流形上，积分出狄拉克费米子后，T与CT情况下的拓扑项不同，但完整路径振幅在S对偶下保持不变。
• 该对偶性证实了在θ = π时，AII类的规范化拓扑绝缘体与AIII类的规范化拓扑超导体是S对偶的。
• 路径振幅的相等性与雷德迈斯特扭量及解析扭量相关，后者与RP⁴上的路径振幅一致。
• 该对偶性意味着这些拓扑相中存在非平凡的对称能隙表面态，与早期猜想一致。
• 即使在非可定向流形上不存在全局时间反演对称性，该结果依然成立，因为对偶性通过路径振幅结构得以保持。