[论文解读] 3+1 decomposition in the new action for the Einstein Theory of Gravitation

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文通过3+1空间-时间分解，重新表述了法德耶夫关于广义相对论引力理论的新作用量，证明其得到的哈密顿形式与狄拉克和阿诺维茨-德塞-米斯纳（ADM）的正则形式完全一致。通过引入40个动力学变量 $ f_{\mu}^A $，以 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ 和 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $ 定义度规与联络，作用量被分解为正则动量 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $、共轭动量 $ \Pi_{ik} $ 及约束，从而导出带有拉格朗日乘子 $ \lambda^0, \lambda^k $ 的标准ADM作用量，确认其与经典希尔伯特-爱因斯坦形式等价，同时为未来理论推广奠定基础。

ABSTRACT

The action of recently proposed formulation of Einstein Theory of Gravitation is written according to 3+1 decomposition of the space-time variables. The result coincides with known formulation of Dirac and Arnowitt-Deser-Misner.

研究动机与目标

• 建立基于新动力学变量的广义相对论法德耶夫新作用量的3+1分解。
• 证明由此导出的哈密顿形式与狄拉克和ADM的正则形式完全一致。
• 表明尽管该作用量以40个变量表述，但通过约束与规范固定可还原为标准ADM结构。
• 通过探索替代变量形式，为未来爱因斯坦理论的推广提供基础。

提出的方法

• 引入40个动力学变量 $ f_{\mu}^A(x) $，其中 $ A=1,\dots,10 $，$ \mu=0,1,2,3 $，以 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ 和 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $ 定义度规与联络。
• 将作用量表达为 $ A = \int \sqrt{g} S \, d^4x $，其中 $ S $ 为由联络 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $ 导出的标量曲率，且 $ \Pi^{AB} $ 为垂直投影算子，确保规范不变性。
• 通过分离时间 $ x^0 = t $ 与空间坐标 $ x^k $ 实施3+1分解，识别出时间导数项 $ \Sigma $ 与空间曲率贡献项 $ \mathcal{H} $。
• 识别正则变量：$ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $，$ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $，并定义拉格朗日乘子 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $，$ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $。
• 利用约束 $ f_k^A f^{0A} = 0 $，$ f^{0A} f^{0A} = g^{00} $ 将40变量系统约化为36个物理自由度。
• 证明完整作用量约化为标准ADM形式：$ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $，其中 $ \mathcal{H}_0 $ 与 $ \mathcal{H}_k $ 分别为哈密顿约束与动量约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 法德耶夫以40个变量 $ f_{\mu}^A $ 表述的广义相对论新作用量，在3+1分解后是否能重现狄拉克与ADM的正则3+1形式？
• RQ2 动力学变量 $ f_{\mu}^A $、度规 $ g_{\mu\nu} $ 与联络 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $ 在3+1分解下如何变换？
• RQ3 该作用量能否重写为包含共轭变量 $ q^{ik} $、$ \Pi_{ik} $ 与拉格朗日乘子 $ \lambda^0 $、$ \lambda^k $ 的正则形式，且与ADM结构一致？
• RQ4 垂直投影算子 $ \Pi^{AB} $ 在确保规范不变性及实现3+1分解中起何作用？
• RQ5 所得哈密顿结构是否确认了与经典希尔伯特-爱因斯坦作用量的等价性，同时保留未来推广的潜力？

主要发现

• 法德耶夫作用量的3+1分解导出的正则形式与ADM形式完全一致，作用量表达为 $ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $，确认其与标准正则引力理论的一致性。
• 正则动量 $ \Pi_{ik} $ 定义为 $ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $，共轭变量 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $，其归一化方式与施温格一致，并被法德耶夫本人在其后续工作中所采纳。
• 动量约束为 $ \mathcal{H}_k = 2\left[ \nabla_k(q^{ml}\Pi_{ml}) - \nabla_l(q^{ml}\Pi_{mk}) \right] $，哈密顿约束为 $ \mathcal{H}_0 = \gamma S^{(3)} - q^{km}q^{ln}(\Pi_{km}\Pi_{ln} - \Pi_{lm}\Pi_{kn}) $，其中 $ S^{(3)} $ 为三维标量曲率。
• 拉格朗日乘子 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $ 乘以动量约束 $ \mathcal{H}_k $，$ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $ 乘以哈密顿约束 $ \mathcal{H}_0 $，确保在空间微分同胚与时间重参数化下的规范不变性。
• 该分解确认法德耶夫的新作用量在经典意义上等价于希尔伯特-爱因斯坦作用量，因其所得正则结构与标准ADM形式完全一致。
• 使用 $ f_{\mu}^A $ 变量引入40个分量，包含4个约束，最终约化为36个物理自由度，且通过变换规则 $ \delta f_{\mu}^A = -\partial_\mu \epsilon^\nu f_\nu^A - \epsilon^\nu \partial_\nu f_\mu^A $ 保持一般坐标变换下的完全协变性。