[论文解读] 3d TQFTs from Argyres-Douglas theories

Mykola Dedushenko, Sergei Gukov+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用 14

一句话总结

本文通过在 $S^1 \times M_3$ 上紧化并引入 $\mathbb{Z}_N$ 全局对称性的非平凡规范 holonomy，从广义 Argryres-Douglas (AD) 理论构造了一类新的 3D 拓扑量子场论 (TQFT)。所得 TQFT 为非幺正且半单的，与源自野生 Hitchin 模空间和 chiral 代数的模 tensor 类 (MTC) 相关联，Galois 作用关联了不同的 MTC，并恢复了已知理论，如 $(G_2)_1$ 和 $(F_4)_1$ 规范场论。

ABSTRACT

We construct a new class of three-dimensional topological quantum field theories (3d TQFTs) by considering generalized Argyres-Douglas theories on $S^1 imes M_3$ with a non-trivial holonomy of a discrete global symmetry along the $S^1$. For the minimal choice of the holonomy, the resulting 3d TQFTs are non-unitary and semisimple, thus distinguishing themselves from theories of Chern-Simons and Rozansky-Witten types respectively. Changing the holonomy performs a Galois transformation on the TQFT, which can sometimes give rise to more familiar unitary theories such as the $(G_2)_1$ and $(F_4)_1$ Chern-Simons theories. Our construction is based on an intriguing relation between topologically twisted partition functions, wild Hitchin characters, and chiral algebras which, when combined together, relate Coulomb branch and Higgs branch data of the same 4d $\mathcal{N}=2$ theory. We test our proposal by applying localization techniques to the conjectural $\mathcal{N}=1$ UV Lagrangian descriptions of the $(A_1,A_2)$, $(A_1,A_3)$ and $(A_1,D_3)$ theories.

研究动机与目标

• 通过在 $S^1 \times M_3$ 上紧化并引入 $S^1$ 上非平凡的 holonomy，建立从 4D ${\mathcal{N}}=2$ Argryres-Douglas (AD) 理论构造新 3D TQFT 的方法。
• 通过拓扑扭和 holonomy 揭示 AD 理论中 Coulomb 与 Higgs 分支算符谱之间的非平凡关系。
• 将所得 3D TQFT 识别为半单且非幺正的，与源自野生 Hitchin 模空间和 chiral 代数的模 tensor 类 (MTC) 相关联。
• 证明 Galois 群对 holonomy 参数 $\gamma \in \mathbb{Z}_N^\times$ 的作用可生成同构或对偶的 MTC，包括恢复已知的幺正 TQFT，如 $(G_2)_1$ 和 $(F_4)_1$ 规范场论。

提出的方法

• 在 $S^1 \times M_3$ 上紧化广义 AD 理论，沿 $S^1$ 引入非平凡 holonomy $\gamma \in \mathbb{Z}_N$，并在 $M_3$ 上通过将 $\mathrm{Spin}(3)$ 与 $SU(2)_R \subset SU(2)_R \times U(1)_r$ 识别实现拓扑扭。
• 配分函数变为 $M_3$ 的拓扑不变量，编码一个与 AD 理论 $\mathcal{T}$ 和 holonomy $\gamma$ 相关的模 tensor 类 $\mathcal{C}_{\mathcal{T}}^\gamma$ 相关的 3D TQFT。
• 利用拓扑扭配分函数、野生 Hitchin 特征标和 chiral 代数之间的关系，连接同一 4D ${\mathcal{N}}=2$ 理论的 Coulomb 与 Higgs 分支数据。
• 应用局部化技术，对 $(A_1,A_2)$、$(A_1,A_3)$ 和 $(A_1,D_3)$ 理论的猜想性 ${\mathcal{N}}=1$ UV 拉格朗日描述计算配分函数，并验证模不变性。
• 从 TQFT 数据计算模 $S$ 和 $T$ 矩阵，并用其将 $S^1 \times M_3$ 上的配分函数表示为 MTC 中简单对象的和，权重为 $S_{0\lambda}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda\lambda}^{a_v} \prod_{\text{edges}} S_{\lambda\lambda'}$。
• 利用 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(e^{2\pi i/N})/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}_N^\times$ 关联不同 holonomy 选择，并证明某些非幺正 MTC 可通过映射得到幺正 TQFT，如 $(G_2)_1$ 和 $(F_4)_1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过在 $S^1 \times M_3$ 上紧化并引入非平凡 holonomy，从 4D ${\mathcal{N}}=2$ Argryres-Douglas 理论构造 3D TQFT？
• RQ2 通过拓扑扭和 holonomy 揭示的 AD 理论中，Coulomb 与 Higgs 分支算符谱之间的精确关系是什么？
• RQ3 所得 3D TQFT 如何与模 tensor 类 (MTC) 关联？野生 Hitchin 特征标和 chiral 代数在此构造中扮演什么角色？
• RQ4 对 holonomy 参数 $\gamma$ 的 Galois 变换能否从非幺正 MTC 生成已知的幺正 TQFT，如 $(G_2)_1$ 和 $(F_4)_1$ 规范场论？
• RQ5 在 $(A_1,A_2)$、$(A_1,A_3)$ 和 $(A_1,D_3)$ 理论的 ${\mathcal{N}}=1$ 拉格朗日描述中进行的局部化计算，在多大程度上确认了所提出的 TQFT 结构和模不变性？

主要发现

• 在 $S^1 \times M_3$ 上的配分函数计算为 $Z_{\text{AD}}(S^1 \times M_3) = \sum_{\lambda_v} \prod_{\text{vertices}} S_{0\lambda_v}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda_v\lambda_v}^{a_v} \prod_{\text{edges}} S_{\lambda_v\lambda_v'}$，其中 $S$ 和 $T$ 矩阵源自 MTC。
• 对于 $(A_1,D_3)$ 理论，MTC 有三个简单对象，其量子维数为 $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2 = \mathcal{H}_3 = 3$，且模 $S$ 和 $T$ 矩阵与 $\mathfrak{su}(2)_{-4/3}$ 在 $k = -4/3$ 时的矩阵匹配，证实了 chiral 代数猜想。
• $(A_1,D_3)$ 理论在 $\gamma = 1$ 时的 MTC 为非幺正的，且与 $\gamma = 2$ 时的 MTC 互为复共轭，但两者通过 Galois 作用关联，并产生一致的配分函数。
• $S^1 \times L_g(p)$ 上的配分函数为 $Z = 3^{g-1}(e^{i\pi/2} + 2e^{-i\pi/6}) = \sum_{\lambda=0}^2 (S_{0\lambda})^{2-2g} (T_{\lambda\lambda})^p$，与模形式预测一致。
• $(A_1,D_3)$ 的 MTC 无法通过 Galois 作用与幺正 MTC 关联；然而，若将 $\lambda=1$ 对象的符号翻转，则可得到一个可通过 $SU(3)_1$ 或 $(E_6)_1$ 规范场论实现的 $\mathbb{Z}_3$ MTC。
• 该构造恢复了已知的幺正 TQFT：在 $(A_1,A_2)$ 中 $\gamma = 1$ 时，MTC 与 $(G_2)_1$ 规范场论匹配；在 $(A_1,A_3)$ 中 $\gamma = 1$ 时，MTC 与 $(F_4)_1$ 规范场论匹配，通过 Galois 共轭和张量积与可逆 TQFT 实现。