[论文解读] Classification of Argyres-Douglas theories from M5 branes

Yifan Wang, Dan Xie|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Sep 2, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用 27

一句话总结

本文通过在带有不规则 puncture 的球面上对 $A$、$D$ 和 $E$ 型 6D $(2,0)$ 理论进行 M5-brane 紧化，对一大类 4D $\mathcal{N}=2$ Argyres-Douglas (AD) 理论进行了分类。通过分析 Hitchin 系统和谱曲线，作者推导出不规则奇点的通用形式，并将其映射到三焦点孤立奇点，从而建立了来自 M5-brane 的 AD 理论的完整分类，给出了显式的中心电荷和 Coulomb 生成子谱。

ABSTRACT

We obtain a large class of new 4d Argyres-Douglas theories by classifying irregular punctures for the 6d (2,0) superconformal theory of ADE type on a sphere. Along the way, we identify the connection between the Hitchin system and three-fold singularity descriptions of the same Argyres-Douglas theory. Other constructions such as taking degeneration limits of the irregular puncture, adding an extra regular puncture, and introducing outer-automorphism twists are also discussed. Later we investigate various features of these theories including their Coulomb branch spectrum and central charges.

研究动机与目标

• 系统分类由 6D $A$、$D$ 和 $E$ 型 $(2,0)$ 超共形场论在带有不规则 puncture 的球面上紧化而产生的 4D $\mathcal{N}=2$ Argyres-Douglas (AD) 理论。
• 建立 AD 理论的 SW 曲线的 Hitchin 系统描述与同一 AD 理论的三焦点孤立奇点几何之间的精确对应关系。
• 将 Xie:2012hs 中对 $A$ 型 M5-brane 构造推广至 $D$ 和 $E$ 型，包括扭结 puncture 和外自同构扭结。
• 计算所构建 AD 理论的 Coulomb 生成子谱、中心电荷 $a$ 和 $c$，以及 Higgs 生成子维数。
• 通过通用形式 $\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$ 识别所有允许的不规则奇点结构，其中对 $b$ 和 $T$ 施加约束。

提出的方法

• 通过通用奇点形式 $\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$ 对 $A$、$D$ 和 $E$ 型 6D $(2,0)$ 理论中的不规则 puncture 进行分类，其中 $T$ 为正则半单元素，$k > -b$ 为整数。
• 利用谱曲线 $\det(x - \Phi) = 0$ 推导 Seiberg-Witten 解，并提取 Coulomb 生成子算符的标度维数。
• 通过谱曲线将每个 AD 理论映射到一个三焦点孤立奇点，识别出对应超曲面 $W(x_i, z) = 0$ 及其准齐次权。
• 应用 cDV（复合 Du Val）奇点的约束以确保三焦点为孤立奇点，要求从集合 $L = \{z^k, z^k x_1, z^k x_2, z^k x_3\}$ 中排除 $k \geq 1$ 的单项式，以避免奇点流形。
• 使用坐标变换和标准型分析，对 $cA_n$、$cD_n$、$cE_6$、$cE_7$、$cE_8$ 类型的所有可能 $W(x_i, z)$ 进行分类，表明仅特定标准型（或其边际形变）被允许。
• 利用公式 $2a - c = \frac{1}{12} \sum_j (2[u_j] - 1)$ 和 $a - c = -\frac{n(n-1)}{24}$ 计算中心电荷 $a$ 和 $c$，该公式源自 Coulomb 生成子谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自 M5-brane 紧化 6D $A$、$D$ 和 $E$ 型 $(2,0)$ 理论的 4D $\mathcal{N}=2$ Argyres-Douglas 理论的完整分类是什么？
• RQ2 同一 AD 理论的 Hitchin 系统描述与三焦点奇点描述之间有何关系？该对应关系能否被显式建立？
• RQ3 在 $D$ 和 $E$ 型 $(2,0)$ 理论中，不规则 puncture 的允许结构是什么？它们如何推广 $A$ 型情况？
• RQ4 在这些新 AD 理论中，Coulomb 生成子算符的标度维数和中心电荷 $a$ 与 $c$ 的显式表达式是什么？
• RQ5 外自同构扭结和常规 puncture 如何影响所得到 AD 理论的结构与谱？

主要发现

• 作者识别出不规则奇点的通用形式：$\Phi = T/z^{2+k/b} + \cdots$，其中 $b$ 受限于表 1 中列出的特定值，对应于每个 $J = A_{N-1}, D_N, E_6, E_7, E_8$。
• 对于每种此类奇点，对应的三焦点奇点由超曲面 $W(x_i, z) = 0$ 给出，表 2 中提供了 $A$、$D$、$E_6$ 和 $E_7$ 型的显式方程。
• Coulomb 生成子谱完全由亚纯微分的极点决定，其标度维数为 $\{2i - k/( -1) \mid 2i - k/( -1) > 1\}$ 和 $\{n - (2k+1)/(2( -1)) \mid \cdots > 1\}$，这些结果源自 Hitchin 系统。
• 中心电荷计算为 $a = \frac{1}{24}n(n-1)(8( -1)n - 4\n - 1)$ 和 $c = \frac{1}{6}n(n-1)(2( -1)n - \n)$，适用于扭结 $D_N$ 理论且 $\n = \ell$。
• 对于扭结 $A_{2n-1}$ 理论，Higgs 生成子四元数维数被猜想为 $n(n+1)$；对于扭结 $E_6$ 理论，其值为 $28$。
• 分析表明，对于 $cD_n$ 和 $cE_7$ 类型，仅特定标准型（或其边际形变）被允许，当仅存在 $z^k x_2$ 单项式时会出现障碍，除非 $k \in 6\mathbb{Z}$，否则将导致奇点流形。