[论文解读] 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories on $S^1/T^2$ and class S theories: part II

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用 30

一句话总结

本文研究了6d $\mathcal{N}=(1,0)$ 理论在 $T^2$ 上的紧化，重点关注那些可经Higgs机制实现为 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论的理论。通过分析经由 $S^1$ 紧化得到的5d理论，该研究揭示了4d $\mathcal{N}=2$ 理论中一种普遍结构：两个超共形物质扇区通过一个红外自由规范多重态和一个共形规范多重态耦合，且具有显式的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 对称性和完整的味对称性。关键结果是通过场论推导出一个F理论的异常约束，排除了某些6d物质内容（如具有 $\mathfrak{so}(8)$ 对称性的 $\mathfrak{su}(2)+4\text{ flavors}$）。

ABSTRACT

We study the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories that is Higgsable to $\mathcal{N}{=}(2,0)$ theories. We show that the resulting 4d $\mathcal{N}{=}2$ theory at the origin of the Coulomb branch and the parameter space is generically given by two superconformal matter sectors coupled by an infrared-free gauge multiplet and another conformal gauge multiplet. Our analysis utilizes the 5d theories obtained by putting the same class of 6d theories on $S^1$. Our class includes, among others, the 6d theories describing multiple M5 branes on an ALE singularity, and we analyze them in detail. The resulting 4d theory has manifestly both the $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ and the full flavor symmetry. We also discuss in detail the special cases of 6d theories where the infrared-free gauge multiplet is absent. In an appendix, we give a field-theoretical argument for an F-theoretic constraint that forbids a particular 6d anomaly-free matter content, as an application of our analysis.

研究动机与目标

• 理解可经Higgs机制实现为 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论的6d $\mathcal{N}=(1,0)$ 理论在 $T^2$ 上的紧化。
• 识别在克莱布施分支和参数分支原点处得到的4d $\mathcal{N}=2$ 理论结构。
• 建立一个F理论异常约束的场论推导，该约束禁止特定的6d物质内容。
• 分析红外自由规范多重态缺失的特殊情况，并阐明味对称性和对偶对称性的角色。

提出的方法

• 将6d $\mathcal{N}=(1,0)$ 理论经 $S^1$ 紧化得到的5d理论作为关键中间步骤。
• 通过 $T^2$ 紧化5d理论分析4d理论，重点关注克莱布施分支和参数空间。
• 应用类S理论框架，将得到的4d $\mathcal{N}=2$ 理论描述为超共形物质扇区的星链结构。
• 使用 $\mathcal{T}\langle M\rangle$、$\mathcal{T}\{H\}$ 和 $\mathcal{T}/H$ 符号来描述紧化、味对称性和规范化。
• 应用异常多项式技术和对偶性论证来约束允许的物质内容。
• 对特定6d模型（如 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$）产生的4d和5d理论进行显式分析，以检测味对称性增强中的不一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对一个可经Higgs机制实现为 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论的6d $\mathcal{N}=(1,0)$ 理论进行 $T^2$ 紧化后，所得到的4d $\mathcal{N}=2$ 理论的结构是什么？
• RQ2 在紧化后的4d理论中，$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 对偶性和完整的味对称性如何体现？
• RQ3 为何某些6d物质内容（如具有 $\mathfrak{so}(8)$ 对称性的 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$）在F理论中被禁止？能否仅通过场论方法证明这一点？
• RQ4 红外自由规范多重态在4d理论中起什么作用？其缺失如何影响理论结构？
• RQ5 能否独立于F理论几何，通过场论不一致性推导出特定6d异常自由物质表示被排除的原因？

主要发现

• 对一个可经Higgs机制实现为 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论的6d $\mathcal{N}=(1,0)$ 理论进行 $T^2$ 紧化，得到的4d $\mathcal{N}=2$ 理论由两个超共形物质扇区通过一个红外自由规范多重态和一个共形规范多重态耦合而成。
• 所得4d理论表现出显式的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 对偶性和完整的味对称性，后者通过底层6d理论的全局对称性实现。
• 对于 $n$ 个M5-brane位于 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$ 奇点上的情况，4d理论由具有 $\mathfrak{su}(k)$ 规范群和双Fundamental超多重态的星链描述。
• 提供了一个场论论证，表明具有 $\mathfrak{so}(8)$ 对称性的6d模型 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$ 是不一致的：在张量分支上，味对称性为 $\mathfrak{so}(8)$ 的意外增强，而真实对称性为 $\mathfrak{so}(7)$，其作用于自旋表示。
• 该6d模型经 $S^1$ 紧化得到的5d理论被证明是具有四个味的 $\mathrm{SU}(2)$ 理论，其中增强的 $\mathrm{SU}(2)_1 \times \mathrm{SU}(2)_2$ 味对称性的对角子群被规范化，从而导致 $\mathrm{SO}(10)$ 对称性增强。
• 不一致性源于 $\mathfrak{so}(8)$ 的矢量表示无法嵌入 $\mathfrak{so}(7)$，而4d星链描述在一般张量分支上要求存在 $\mathrm{Weyl}(\mathrm{SU}(3))$ 对称性，这与三个相同标点的缺失不相容。