[论文解读] A 2Cat-inspired model structure for double categories

Lyne Moser, Maru Sarazola+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Topic Modeling参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文在双范畴与双函子的范畴上构建了一个新的模型结构，其灵感来自 Lack 在 2-范畴上的模型结构。该模型确保了 2-范畴到双范畴的水平嵌入既是左也是右 Quillen 函子，同伦意义下全忠实，并恢复了 2-范畴与双范畴的同伦理论。关键结果是双函子的 Whitehead 定理：弱等价被刻画为存在一个关于水平伪自然等价的伪逆双函子的双函子。

ABSTRACT

We construct a model structure on the category $\mathrm{DblCat}$ of double categories and double functors. Unlike previous model structures for double categories, it recovers the homotopy theory of 2-categories through the horizontal embedding $\mathbb{H}\colon2\mathrm{Cat} o\mathrm{DblCat}$, which is both left and right Quillen, and homotopically fully faithful. Furthermore, we show that Lack's model structure on $2\mathrm{Cat}$ is both left- and right-induced along $\mathbb{H}$ from our model structure on $\mathrm{DblCat}$. In addition, we obtain a $2\mathrm{Cat}$-enrichment of our model structure on $\mathrm{DblCat}$, by using a variant of the Gray tensor product. Under certain conditions, we prove a Whitehead theorem, characterizing our weak equivalences as the double functors which admit an inverse pseudo double functor up to horizontal pseudo natural equivalence. This retrieves the Whitehead theorem for 2-categories. Analogous statements hold for the category $\mathrm{wkDblCat}_s$ of weak double categories and strict double functors, whose homotopy theory recovers that of bicategories. Moreover, we show that the full embedding $\mathrm{DblCat} o\mathrm{wkDblCat}_s$ is a Quillen equivalence.

研究动机与目标

• 在双范畴的范畴上构造一个模型结构，通过水平嵌入恢复 2-范畴的同伦理论。
• 确保水平嵌入函子既是左也是右 Quillen 函子，保持同伦结构。
• 建立双范畴的 Whitehead 定理，将弱等价刻画为存在关于水平伪自然等价的伪逆的双函子。
• 将该模型结构扩展至弱双范畴，并证明其包含到严格双范畴的嵌入是一个 Quillen 等价。
• 通过 2Cat-提升的张量积变体，为双范畴上的模型结构赋予 2Cat-提升结构。

提出的方法

• 使用源自 2Cat 的生成（平凡）协张量，借鉴 Lack 的模型结构，在 DblCat 上构造模型结构。
• 将水平嵌入 H: 2Cat → DblCat 定义为一个全忠实函子，且同时为左与右 Quillen 函子，以确保同伦理论相容性。
• 使用一种变体的 Gray 张量积，为 DblCat 上的模型结构赋予 2Cat-提升结构。
• 定义严格化函子 S: wkDblCat_s → DblCat，通过商去水平态射与方块，使结合子与单位子成为恒等态射。
• 建立 DblCat 与 wkDblCat_s 之间的伴随关系 S ⊣ I，其中 I 为包含函子，并证明其为 Quillen 等价。
• 利用 DblCat 与 wkDblCat_s 均具有纤维对象的事实，通过水平与垂直双范畴上的双等价条件，利用导出单位验证 Quillen 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个双范畴上的模型结构，使得 2-范畴的水平嵌入在两个方向上均为 Quillen 函子？
• RQ2 在什么条件下，双范畴模型结构中的弱等价对应于存在关于水平伪自然等价的伪逆的双函子？
• RQ3 双范畴的同伦理论与双范畴的同伦理论有何关系？严格双范畴包含到弱双范畴的嵌入是否为 Quillen 等价？
• RQ4 2Cat-提升的双范畴模型结构在多大程度上反映了 2-范畴的同伦理论？
• RQ5 水平嵌入函子 H: 2Cat → DblCat 是否同伦全忠实？它是否保持 Lack 模型结构中的弱等价？

主要发现

• 所构造的 DblCat 上的模型结构确保了水平嵌入 H: 2Cat → DblCat 同时为左与右 Quillen 函子，因此在同伦意义下全忠实。
• DblCat 上的模型结构恢复了 2-范畴的同伦理论，且 Lack 在 2Cat 上的模型结构通过 H 同时被左与右诱导。
• 建立了 Whitehead 定理：当且仅当一个双函子存在一个关于水平伪自然等价的伪逆双函子时，它才是弱等价。
• 包含函子 I: DblCat → wkDblCat_s 是一个 Quillen 等价，表明弱双范畴的同伦理论恢复了严格双范畴的同伦理论。
• 通过一种变体的 Gray 张量积，实现了 DblCat 模型结构的 2Cat-提升，以一种与 2-范畴理论相容的方式增强其同伦结构。
• 伴随关系 S ⊣ I 的导出单位是一个双双等价，且通过将问题约化为 2Cat 中对应单位的忠实性，证明了其在 2-胞态上的忠实性。