[论文解读] Biequivalences in tricategories

Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 56

一句话总结

本文证明了在三范畴中，每个双等价均可扩展为双伴随双等价，这意味着每个双等价均具有类似对偶的结构，且在2-细胞层面存在伴随等价。该结果使得在双等价之间系统地传递张量结构和皮卡德2-范畴结构成为可能，确保了高阶范畴论中的相干性。

ABSTRACT

We show that every internal biequivalence in a tricategory T is part of a biadjoint biequivalence. We give two applications of this result, one for transporting monoidal structures and one for equipping a monoidal bicategory with invertible objects with a coherent choice of those inverses.

研究动机与目标

• 建立三范畴中每个内部双等价均可作为双伴随双等价的一部分出现。
• 通过提供一个典范且相干的框架，解决在双等价之间传递张量结构与更高阶范畴结构时存在的结构性模糊性。
• 证明在所有对象均为弱可逆的张量双范畴（即皮卡德2-范畴）中，可通过双等价唯一地赋予相干的逆元选择。
• 为高阶范畴论中三范畴的张量结构与皮卡德2-范畴的唯一性与等价性结果提供基础。

提出的方法

• 在双范畴、函子、伪自然变换与修正构成的三范畴（Bicat）中证明该结果。
• 建立一个传递结果：若函子满足局部嵌入条件，且目标三范畴具有双伴随双等价性质，则源三范畴也具有该性质。
• 证明该性质在函子三范畴的构造下保持不变，即若T具有该性质，则对任意S，Tricat(S,T)也具有该性质。
• 利用相干性定理与Yoneda嵌入，将结果推广至任意三范畴。
• 显式构造相干2-细胞（例如η, ε, χ, δ, γ），从给定双等价定义双伴随双等价结构。
• 通过双等价及其双伴随结构，将张量积与结合性约束相干地提升至张量双范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 三范畴中每个双等价是否均可扩展为双伴随双等价，从而确保具有相干的对偶结构？
• RQ2 如何通过双等价将张量结构从一个双范畴传递到另一个双范畴，双伴随双等价在此过程中起到何种作用？
• RQ3 在皮卡德2-范畴中，所有对象均为弱可逆，是否可唯一地赋予相干的逆元选择，且该选择是否唯一？
• RQ4 何种条件可确保三范畴之间的函子保持双等价属于双伴随双等价的性质？
• RQ5 相干皮卡德2-范畴的结构是否在三等价意义下唯一，其与底层三范畴的关系如何？

主要发现

• 三范畴中每个双等价均可扩展为双伴随双等价，这意味着逆元及单位/余单位数据在唯一同构意义下唯一确定。
• 仅当双等价被扩展为双伴随双等价时，才能在双等价之间传递张量结构，因为这提供了定义结合性与单位约束所必需的高阶2-细胞，以确保相干性。
• 在皮卡德2-范畴中，存在一个相干的逆元选择，且在相干三等价意义下唯一，即该结构是典范的。
• 从相干皮卡德2-范畴三范畴到皮卡德2-范畴三范畴的遗忘函子是一个三等价，从而证明了相干结构的唯一性。
• 双伴随双等价结构的构造涉及相干2-细胞（如η, ε, χ, δ, γ）的粘贴图，这些图由于相干性定理而可交换。
• 通过Yoneda嵌入与函子三范畴对双伴随双等价性质的保持性，该结果在所有三范畴中普遍成立。