[论文解读] A Bernstein theorem for special Lagrangian graphs

Jürgen Jost, Yuanlong Xin|ArXiv.org|Jan 16, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过证明任何具有有界斜率的整个特殊拉格朗日子流形图在$$\mathbb{C}^n$$中必须是仿射$n$-平面，建立了类似于伯恩斯坦定理的结果，从而在无需定量曲率界的情况下扩展了先前的结果，并利用拉格朗日格拉斯曼流形上的调和映射。关键贡献在于在凸性和有界性条件下，对调和高斯映射提出了一个利乌维尓型定理，从而得出结论：若Hessian矩阵满足$I + (\text{Hess } F)^2$的行列式有统一有界，则该图是平面的。该结果对所有$n \geq 2$成立，且无需凸性或除有界斜率外的生长限制。

ABSTRACT

We obtain a Bernstein theorem for special Lagrangian graphs in n-dimensional complex space for arbitrary n only assuming bounded slope, but no quantitative restriction.

研究动机与目标

• 建立整个特殊拉格朗日子流形图在$\mathbb{C}^n$中的精确伯恩斯坦型定理，且无需定量曲率界。
• 通过利用拉格朗日条件和调和高斯映射，将已知的极小图结果扩展到特殊拉格朗日情形。
• 证明有界斜率和凸性可推出图是仿射$n$-平面，即使在无生长或曲率限制下亦然。
• 通过切锥和$S^{2n-1}$中的Legendrian链，分析此类图在无穷远处的渐近行为。

提出的方法

• 使用Ruh-Vilms定理证明极小拉格朗日子流形的高斯映射是调和的。
• 将高斯映射限制在拉格朗日格拉斯曼流形$LG_n$上，该流形在格拉斯曼流形$G_{n,n}$中是全测地的，从而保持调和性。
• 利用法坐标和条件$\langle P, P_0 \rangle \geq \delta > 0$，在参考$n$-平面上构造$LG_n$中的测地凸邻域，确保高斯映射的像位于此类集合中。
• 将调和映射到测地凸集的利乌维尓型定理应用于该情形，得出高斯映射为常值，从而推出图是仿射的。
• 分析图在无穷远处的切锥，得到一个特殊拉格朗日锥，其链是$S^{2n-1}$中的极小Legendrian子流形。
• 利用条件$\Delta_F \leq \beta$推导出高斯映射与固定平面之间夹角的统一下界$\langle P, P_0 \rangle \geq \beta^{-1}$，从而可应用定理2于Legendrian子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{C}^n$中的整个特殊拉格朗日子流形图必然是仿射$n$-平面？
• RQ2 仅凭有界斜率条件，是否足以在无曲率或生长界限制下迫使特殊拉格朗日子流形图为平面？
• RQ3 拉格朗日格拉斯曼流形$LG_n$的几何特性如何使其相对于全格拉斯曼流形，能为调和高斯映射提供更强的利乌维尓型定理？
• RQ4 无穷远处切锥的Legendrian链在分类特殊拉格朗日锥中起什么作用？
• RQ5 条件$\Delta_F \leq \beta$能否用于统一有界高斯映射与固定$n$-平面之间的夹角，从而导致刚性？

主要发现

• 若光滑函数$F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$满足$F$为凸函数且$\Delta_F \leq \beta < \infty$，则其梯度图在$\mathbb{C}^n$中为特殊拉格朗日子流形时，$F$必为二次多项式。
• 此类特殊拉格朗日子流形图的高斯映射是调和的，且取值于拉格朗日格拉斯曼流形$LG_n$，该流形在$G_{n,n}$中为全测地的，从而实现更强的几何控制。
• 在$LG_n$中存在一个测地凸邻域，使得高斯映射的像位于其中，从而可应用利乌维尓型定理，强制高斯映射为常值。
• 图在无穷远处的切锥是一个特殊拉格朗日锥，其链是$S^{2n-1}$中的紧致极小Legendrian子流形，且在夹角条件$\langle P, P_0 \rangle \geq \delta$下，该链位于一个全测地子球面内。
• 条件$\Delta_F \leq \beta$蕴含$\langle P, P_0 \rangle \geq \beta^{-1}$，结合定理2可推出Legendrian链为全测地的，因此锥为$n$-平面。
• 由Allard正则性定理，原图$M$必为仿射$n$-平面，故$F$为二次多项式。