[论文解读] A Bernstein type inequality and moderate deviations for weakly dependent sequences

Florence Merlevède, Magda Peligrad+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Probability and Risk Models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为具有半指数尾部的弱相依序列的部分和建立了类Bernstein型尾部不等式，将经典的指数界推广至混合过程。在一般混合条件下推导了中等偏差原理，证明了收敛的最优条件，并将结果应用于马尔可夫链、具有绝对正则创新的线性过程以及ARCH模型。

ABSTRACT

In this paper we present a tail inequality for the maximum of partial sums of a weakly dependent sequence of random variables that are not necessarily bounded. The class considered includes geometrically and subgeometrically strongly mixing sequences. The result is then used to derive asymptotic moderate deviations results. Applications include classes of Markov chains, functions of linear processes with absolutely regular innovations and ARCH models

研究动机与目标

• 将类Bernstein型尾部不等式扩展至具有半指数尾部的弱相依序列，超越独立同分布情形。
• 在一般混合条件下，推导弱相依序列部分和的中等偏差原理（MDP）。
• 以依赖系数衰减速率和尾部行为为指标，建立MDP的最优条件。
• 将结果应用于具体模型，如几何混合马尔可夫链、具有绝对正则创新的线性过程以及ARCH过程。

提出的方法

• 在半指数尾部条件下，通过矩生成函数界推导了部分和最大值的新尾部不等式。
• 利用解耦不等式（引理2）通过独立副本控制变量间的依赖性。
• 在子威布尔矩条件下，对依赖随机变量之和应用对数拉普拉斯变换界（引理3）。
• 采用分块分解与鞅逼近方法，控制方差和极限行为。
• 通过在绝对正则性和强混合条件下验证必要的指数界与紧致性条件，建立MDP。
• 通过验证所需的矩与依赖条件，将主不等式应用于具体模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有重尾或半指数尾部的弱相依序列建立类Bernstein型不等式？
• RQ2 在弱相依序列中，中等偏差原理的最优混合速率与尾部衰减速率条件是什么？
• RQ3 与现有结果相比，该结果如何改进几何混合马尔可夫链与线性过程的界？
• RQ4 该框架能否应用于具有依赖创新的非线性模型（如ARCH过程）？
• RQ5 在弱依赖条件下，中等偏差原理中速度参数 $ a_n $ 的精确阈值是什么？

主要发现

• 在几何与亚几何强混合条件下，为具有半指数尾部的弱相依序列建立了新的类Bernstein型不等式。
• 当 $ heta \to 0 $ 时，该不等式对中等偏差提供次高斯界，其速率取决于混合系数 $ \theta $ 与尾部指数 $ \beta $。
• 对于 $ \beta = 1 $ 的几何混合序列，当 $ a_n \to 0 $ 且 $ a_n \to 0 $ 的速度快于 $ n^{-1/2} $ 时，MDP 成立，优于先前结果。
• 在 $ a_n \to 0 $ 且 $ a_n \to 0 $ 的速度快于 $ n^{-1/2} $ 的条件下，证明了平稳几何混合马尔可夫链（有界函数）的中等偏差原理。
• 该框架适用于具有绝对正则创新的线性过程与ARCH模型，其中已验证尾部与依赖条件。
• 在协方差衰减可 summable 的条件下，建立了方差归一化 $ \text{Var}(S_n)/n \to \tau^2 > 0 $，确保极限行为非退化。