[论文解读] A C^0-Weak Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation

Lin Mu, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 34

一句话总结

本文提出了一种用于二维和三维双调和方程的C⁰-弱伽辽金有限元方法，采用针对C⁰连续有限元函数的新弱拉普拉斯形式化。该方法具有对称性、正定性且无需参数，可在离散H²范数和L²范数下实现最优收敛率，误差估计通过一种改进的Scott-Zhang插值算子得到验证，该算子可保持体积质量和表面积质量至(k+1−d)阶和(k+2−d)阶。

ABSTRACT

A C^0-weak Galerkin (WG) method is introduced and analyzed for solving the biharmonic equation in 2D and 3D. A weak Laplacian is defined for C^0 functions in the new weak formulation. This WG finite element formulation is symmetric, positive definite and parameter free. Optimal order error estimates are established in both a discrete H^2 norm and the L^2 norm, for the weak Galerkin finite element solution. Numerical results are presented to confirm the theory. As a technical tool, a refined Scott-Zhang interpolation operator is constructed to assist the corresponding error estimate. This refined interpolation preserves the volume mass of order (k+1-d) and the surface mass of order (k+2-d) for the P_{k+2} finite element functions in d-dimensional space.

研究动机与目标

• 开发一种用于双调和方程的C⁰-弱伽辽金有限元方法，以避免对C¹连续有限元的依赖。
• 为C⁰有限元函数定义一种新的弱拉普拉斯算子，以实现对称且正定的公式化。
• 为所得的弱伽辽金格式建立在离散H²范数和L²范数下的最优误差估计。
• 构造一种改进的Scott-Zhang插值算子，使其在d维空间中可保持体积质量至(k+1−d)阶、表面质量至(k+2−d)阶。
• 基于新插值算子提供收敛性分析，确保C⁰有限元空间具有最优逼近性质。

提出的方法

• 引入一种针对C⁰有限元函数的新弱拉普拉斯算子Δ_w，通过涉及单元内弱导数的变分公式进行定义。
• 利用新弱拉普拉斯算子，构建一种对称、正定且无参数的弱伽辽金有限元格式，用于求解双调和方程。
• 采用改进的Scott-Zhang插值算子，通过在单元内部和面上施加矩条件，以保持多项式矩至(k+1−d)阶和(k+2−d)阶。
• 通过证明该算子在星形单元带状结构上可精确重构次数为k+2的多项式，建立其最优逼近性质。
• 通过结合插值误差界与弱伽辽金公式的稳定性和相容性，推导出离散H²范数和L²范数下的误差估计。
• 对改进的插值算子应用标准缩放论证和Sobolev不等式，证明在H¹和H²范数下收敛率可达h^{k+3}阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为双调和方程构造一种C⁰-弱伽辽金有限元方法，以避免C¹协调元的复杂性？
• RQ2 所提出的C⁰函数弱拉普拉斯公式化是否能产生对称、正定且无参数的系统？
• RQ3 能否设计一种改进的Scott-Zhang插值算子，使其在d维空间中保持体积质量和表面质量至(k+1−d)阶和(k+2−d)阶？
• RQ4 C⁰-弱伽辽金方法在离散H²范数和L²范数下的最优收敛率是多少？
• RQ5 改进的插值算子如何促进误差分析并确保最优逼近性质？

主要发现

• 所提出的C⁰-弱伽辽金有限元方法具有对称性、正定性，且不包含稳定化参数。
• 在离散H²范数和L²范数下均建立了最优阶误差估计，解在H²范数下的收敛率为O(h^{k+3})，在L²范数下的收敛率亦为O(h^{k+3})。
• 改进的Scott-Zhang插值算子可保持体积质量至(k+1−d)阶、表面质量至(k+2−d)阶，较最低要求高出一个阶次。
• 插值算子满足∫_T (v−Q₀v)p dx = 0对所有p ∈ P_{k+1−d}(T)成立，且∫_E (v−Q₀v)p dE = 0对所有p ∈ P_{k+2−d}(E)成立，确保高阶矩保持。
• 由于在单元带状结构上局部重现了P_{k+2}多项式，该方法实现了最优逼近性质，从而获得紧致的误差界。
• 数值结果验证了理论收敛率，表明该方法在三角形和四面体网格上的鲁棒性与精度。