[论文解读] A Canonical Quadratic Form on the Determinant Line of a Flat Vector Bundle

Maxim Braverman, Thomas Kappeler|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在奇维闭定向流形上的平坦向量丛的行列式线上引入了一个规范的扭量二次型，该形式通过分析 torsion 构造，并与 Burghelea-Haller 和 Cappell-Miller torsion 相关联。证明了该形式在符号和依赖于欧拉结构的因子下等于 Cappell-Miller torsion，并在每个平坦连接空间的连通分支内，确认了分析 torsion 与组合 torsion 之间关系的猜想，其常数为单位根。

ABSTRACT

We introduce and study a canonical quadratic form, called the torsion quadratic form, of the determinant line of a flat vector bundle over a closed oriented odd-dimensional manifold. This quadratic form caries less information than the refined analytic torsion, introduced in our previous work, but is easier to construct and closer related to the combinatorial Farber-Turaev torsion. In fact, the torsion quadratic form can be viewed as an analytic analogue of the Poincare-Reidemeister scalar product, introduced by Farber and Turaev. Moreover, it is also closely related to the complex analytic torsion defined by Cappell and Miller and we establish the precise relationship between the two. In addition, we show that up to an explicit factor, which depends on the Euler structure, and a sign the Burghelea-Haller complex analytic torsion, whenever it is defined, is equal to our quadratic form. We conjecture a formula for the value of the torsion quadratic form at the Farber-Turaev torsion and prove some weak version of this conjecture. As an application we establish a relationship between the Cappell-Miller and the combinatorial torsions.

研究动机与目标

• 在奇维闭定向流形上的平坦向量丛的行列式线上定义一个规范的二次型。
• 建立 Farber-Turaev Poincaré-Reidemeister 标量积的精确分析类比。
• 将新扭量二次型与 Burghelea-Haller 及 Cappell-Miller torsion 关联。
• 通过单值性与欧拉结构，证明关于该二次型与 Farber-Turaev torsion 关系的猜想的弱版本。
• 为 Cappell-Miller 关于 Cappell-Miller 与 Reidemeister torsion 之间关系的猜想提供部分解法。

提出的方法

• 通过非自伴拉普拉斯型算子的谱理论构造的精细分析 torsion ρan，定义扭量二次型 τ∇。
• 利用 Atiyah-Patodi-Singer 奇数性算子 B 及其平方 B²，通过在区间 [0,λ] 和 (λ,∞) 上的谱投影，定义 Cappell-Miller torsion T∇。
• 证明该形式满足 τ∇(T∇) = 1，从而直接将 τ∇ 与 Cappell-Miller torsion T∇ 关联。
• 方法中使用算子 B² 在 (λ,∞) 上的 Agmon 角 θ，以确保 T∇ 定义中 λ 的独立性。
• 通过单值类 Arg∇ ∈ H¹(M, ℂ/ℤ) 与欧拉结构类 c(ε) ∈ H₁(M, ℤ)，建立与 Farber-Turaev torsion 的联系。
• 利用行列式线上的对偶算子 D，通过 Cappell-Miller 猜想将 T∇ 与 E ⊕ E* 的 Reidemeister torsion 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏非退化双线性型的情况下，如何在平坦向量丛的行列式线上构造规范的二次型？
• RQ2 新扭量二次型与 Cappell-Miller torsion 之间的精确关系为何？
• RQ3 该扭量二次型在多大程度上恢复了 Farber-Turaev 组合 torsion？
• RQ4 该扭量二次型与 Burghelea-Haller 复分析扭量 torsion 有何关系？
• RQ5 在何种条件下，Cappell-Miller 猜想精确成立或仅相差符号与酉因子？

主要发现

• 扭量二次型 τ∇ 满足 τ∇(T∇) = 1，建立了 τ∇ 与 Cappell-Miller torsion T∇ 之间的直接对偶关系。
• 猜想 τ∇(ρε,ₒ) = R𝒞 · e^{2πi⟨Arg∇, c(ε)⟩} 在每个平坦连接空间的连通分支 𝒞 内弱成立，其中 R𝒞 ∈ ℂ 为模为 1 的复数。
• Cappell-Miller 猜想 (1⊗D)T∇ = (−1)^z ρᴿ(∇⊕∇*) 在常数 R𝒞 范围内成立，且当 ∇ 位于包含正则 Hermitian 连接的分支时精确成立。
• 当存在非退化双线性型 b 时，猜想在符号意义下成立，从而部分证实了 Cappell-Miller 猜想。
• 该扭量二次型被证明是 Poincaré-Reidemeister 标量积的分析类比，精化了 Farber-Turaev 不变量。
• 通过单值类 Arg∇ 与欧拉结构 c(ε)，精确建立了 Cappell-Miller torsion 与 Farber-Turaev torsion 之间的关系，其中包含符号因子 (−1)^z。