[论文解读] Strict and non strict positivity of direct image bundles

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文研究了凯勒纤维丛中与扭曲相对 canonical 线丛相关的直接像丛的曲率正性。通过显式曲率公式，证明当扭曲线丛沿纤维具有严格正曲率时，直接像丛曲率严格正的充要条件是纤维丛非平凡（即 Kodaira-Spencer 类非零）；否则，即使 Kodaira-Spencer 类非零，严格正性仍会失效。

ABSTRACT

This paper is a sequel to \cite{Berndtsson}. In that paper we studied the vector bundle associated to the direct image of the relative canonical bundle of a smooth Kähler morphism, twisted with a semipositive line bundle. We proved that the curvature of a such vector bundles is always semipositive (in the sense of Nakano). Here we adress the question if the curvature is strictly positive when the Kodaira-Spencer class does not vanish. We prove that this is so provided the twisting line bundle is stricty positive along fibers, but not in general.

研究动机与目标

• 确定与扭曲相对 canonical 线丛相关的直接像丛曲率严格正的条件。
• 阐明 Kodaira-Spencer 类在决定曲率退化性中的作用。
• 对比平凡与严格正曲率扭曲线丛下曲率的行为差异。
• 建立在纤维丛结构非平凡但曲率仍消失的条件下。
• 将曲率公式与已知结果（如 Wolpert 的 Weil-Petersson 度量公式）相联系。

提出的方法

• 在光滑凯勒纤维丛的背景下，利用 $L^2$-度量和 Nakano 正性，推导直接像丛的显式曲率公式。
• 应用 Kodaira-Spencer 类通过与向量场的收缩作用于全纯形式的形式化方法。
• 利用与扭曲线丛度量 $ ho$ 相关的向量场 $V_{ ho}$ 表达曲率分量。
• 依赖 Schumacher 的公式，将曲率分量 $c(\rho)$ 与表示 Kodaira-Spencer 类的 $(0,1)$-形式 $k_t^{\rho}$ 的范数联系起来。
• 使用 $\Box$-拉普拉斯算子的逆，将曲率积分表示为调和代表元的形式。
• 通过将情形特化为纤维上具有凯勒-爱因斯坦度量的相对 canonical 线丛，重构 Wolpert 的 Weil-Petersson 度量公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，直接像丛的曲率是严格正的？
• RQ2 当 Kodaira-Spencer 类非零时，曲率是否可能消失？
• RQ3 沿纤维的扭曲线丛正性如何影响曲率的严格正性？
• RQ4 当扭曲丛为平凡时，是否存在严格正性的几何障碍？
• RQ5 曲率公式能否用于恢复已知结果，如 Weil-Petersson 度量的 Wolpert 公式？

主要发现

• 当扭曲线丛为平凡时，曲率严格正当且仅当 Kodaira-Spencer 类非零，且曲率表达为 $\langle \Theta^E u, u \rangle = \| \mathcal{K}_t . u \|^2$。
• 当扭曲线丛沿纤维具有严格正曲率时，只要 Kodaira-Spencer 类非零，直接像丛的曲率即严格正。
• 存在非平凡纤维丛的例子（例如，中心纤维为亏格 ≥3 的双椭圆黎曼曲面），其 Kodaira-Spencer 类非零，但所有截面的曲率均消失。
• 即使纤维丛非平凡，当扭曲线丛为平凡时，曲率仍可能退化（不严格正）。
• 当特化为纤维上具有凯勒-爱因斯坦度量的相对 canonical 线丛时，曲率公式可恢复 Wolpert 的 Weil-Petersson 度量公式。
• 当且仅当纤维丛在无穷小意义下平凡时，曲率恒为零，前提是扭曲线丛为相对正（即沿纤维正）。